ディクソンの等式
ディクソンの等式
\(a,b,c\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(a,b,c\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!} \](2)
\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C^{3}(2a,a+k)=\frac{(3a)!}{\left(a!\right)^{3}} \](1)
略(2)
(1)で\(a=b=c\)とおくと、\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C^{3}(2a,a+k)=\frac{(3a)!}{\left(a!\right)^{3}} \] となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ディクソンの等式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kga8k4q6/ |
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2項係数の特殊な積
\[
C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)
\]
パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]
中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e}
\]