偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
\[ \frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{m}}:=\lim_{\Delta x_{m}\rightarrow0}\frac{f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m}+\Delta x_{m},\cdots,x_{n}\right)-f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},\cdots,a_{n}\right)}{\Delta x_{m}} \] を偏導関数という。
偏導関数は\(\partial_{x}f,f_{x}\)などでも表される。
また、ある点\(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)での偏導関数の値を偏微分係数といい、
\[ \frac{\partial f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{\partial x_{m}}=\lim_{\Delta x_{m}\rightarrow0}\frac{f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}+\Delta x_{m},\cdots,a_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\cdots,a_{n}\right)}{\Delta x_{m}} \] となる。
\[ df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i} \] を全微分という。
\[ \frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{m}}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}+h,\cdots,a_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\cdots,a_{n}\right)}{h} \] が存在するとき、\(f\)は\(a\)において偏微分可能であるという。
\[ \lim_{\left(h_{1},h_{2}\cdots,h_{n}\right)\rightarrow\left(0,0,\cdots,0\right)}\frac{f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)-\left(A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}+\cdots+A_{n}h_{n}\right)}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}}}=0 \] となる定数\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)が存在するとき\(f\)は\(a\)において全微分可能であるという。
全微分可能であるとき\(j\ne i\rightarrow h_{j}=0\)として\(h_{i}\rightarrow0\)とすると\(A_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\)となります。
また、領域\(D\)の各点において全微分可能であるとき、\(f\)は\(D\)で全微分可能であるという。
(1)偏微分
\(n\)変数関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)があるとき、\[ \frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{m}}:=\lim_{\Delta x_{m}\rightarrow0}\frac{f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m}+\Delta x_{m},\cdots,x_{n}\right)-f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},\cdots,a_{n}\right)}{\Delta x_{m}} \] を偏導関数という。
偏導関数は\(\partial_{x}f,f_{x}\)などでも表される。
また、ある点\(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)での偏導関数の値を偏微分係数といい、
\[ \frac{\partial f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{\partial x_{m}}=\lim_{\Delta x_{m}\rightarrow0}\frac{f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}+\Delta x_{m},\cdots,a_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\cdots,a_{n}\right)}{\Delta x_{m}} \] となる。
(2)全微分
\(n\)変数関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)があるとき、\[ df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i} \] を全微分という。
(3)偏微分可能性
\(n\)変数関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)があるとき、ある点\(a=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)について、任意の\(m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対し、\[ \frac{\partial f\left(a\right)}{\partial x_{m}}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}+h,\cdots,a_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\cdots,a_{n}\right)}{h} \] が存在するとき、\(f\)は\(a\)において偏微分可能であるという。
(4)全微分可能性
\(n\)変数関数\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)があるとき、ある点\(a=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)に対し、\[ \lim_{\left(h_{1},h_{2}\cdots,h_{n}\right)\rightarrow\left(0,0,\cdots,0\right)}\frac{f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2},\cdots,a_{n}+h_{n}\right)-f\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)-\left(A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}+\cdots+A_{n}h_{n}\right)}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+\cdots+h_{n}^{2}}}=0 \] となる定数\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)が存在するとき\(f\)は\(a\)において全微分可能であるという。
全微分可能であるとき\(j\ne i\rightarrow h_{j}=0\)として\(h_{i}\rightarrow0\)とすると\(A_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\)となります。
また、領域\(D\)の各点において全微分可能であるとき、\(f\)は\(D\)で全微分可能であるという。
\(f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)を\(x_{m}\)について偏微分することは偏微分する変数以外は定数と考えたものである。
(1)
\(f\left(x,y\right)=x^{2}+xy+y^{2}\)とすると、\[ \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=2x+y \] \[ \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}=x+2y \] \begin{align*} df & =\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ & =\left(2x+y\right)dx+\left(x+2y\right)dy \end{align*}
(2)
\(f\left(x,y\right)=x^{2}+xy^{2}\)とすると、\[ \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=2x+y^{2} \] \[ \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}=2xy \] \begin{align*} df & =\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ & =\left(2x+y^{2}\right)dx+2xydy \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義 |
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積分問題
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)
\]
ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]
logの2乗の級数表示
\[
\log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}
\]
ベッセル関数のポアソン積分表示
\[
J_{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}e^{izt}dt
\]