一様コーシー列の定義

\(x\in\mathbb{R}\)として\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)とする。
このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、自然数\(N\in\mathbb{N}\)を\(\frac{1}{\epsilon}\leq N\)となるようにとなる。
\(N\leq m,n\)のとき、
\begin{align*} \left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right| & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right|\\ & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\left(-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right)\right|\\ & =\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\\ & =\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\\ & \leq\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{2}}\\ & =\frac{2}{N^{2}}\\ & \leq\frac{2}{N}\\ & \leq2\epsilon \end{align*} となるので、\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)は一様コーシー列になる。