集合の分割の定義

by nomura · 2023年8月18日

集合の分割の定義
集合\(A\)と\(A\)の空でない部分集合族\(\mathcal{P}=\left\{ P_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があり、任意の\(x\in A\)に対し\(x\in A\in\mathcal{P}\)を満たす\(A\)がただ1つのみ存在するとき、\(\mathcal{P}\)は\(A\)の分割であるという。
これは以下が全て成り立つことと同値である。

(a)空集合

\[ \emptyset\notin\mathcal{P} \]

(b)和集合

\[ \bigcup\mathcal{P}=A \]

(c)積集合

\[ \forall P_{1}\in\mathcal{P},\forall P_{2}\in\mathcal{P},P_{1}\ne P_{2}\Rightarrow P_{1}\cap P_{2}=\emptyset \]

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有限集合の場合は、元の個数を\(n\)とすると分割の仕方は\(B_{n}\)通りある。
ここで\(B_{n}\)はベル数である。
\(n=1\)のとき1通り、\(n=2\)のとき2通り、\(n=3\)のとき5通り、\(n=4\)のとき15通り、\(n=5\)のとき52通り、\(n=6\)のとき203通り、\(n=7\)のとき877通りとなる。

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集合\(\left\{ a\right\} \)の分割は\(\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)の１つしかない。
任意の空でない集合\(A\)に対し\(\left\{ A\right\} \)は分割の1つである。
任意の集合\(A\)に対し、空でない真部分集合\(P\)と\(A\setminus P\)は分割の1つである。