偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分

by nomura · 2024年3月16日

偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
複素数\(\alpha\in\mathbb{C}\)として、偶関数\(f_{e}\left(x\right)=f_{e}\left(-x\right)\)に対し次の定積分
\[ \int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx \] が成り立つ。

\begin{align*} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx\\ & =\left[\sin\left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ & =1 \end{align*}

\begin{align*} \int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx & =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(c+\left(-c\right)-x\right)}{1+\alpha^{\left(c+\left(-c\right)-x\right)}}dx\right)\cmt{\text{キングプロパティーまたは}x\rightarrow-x\text{とする}}\\ & =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(-x\right)}{1+\alpha^{-x}}dx\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{\alpha^{x}f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx\right)\\ & =\frac{1}{2}\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)\left(1+\alpha^{x}\right)}{1+\alpha^{x}}dx\\ & =\frac{1}{2}\int_{-c}^{c}f_{e}\left(x\right)dx\\ & =\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx \end{align*}