線形写像と線形変換と表現行列の関係

by nomura · 2026年3月16日

線形写像と線形変換と表現行列の関係

(1)

体\(K\)があり、線形写像\(f:K^{n}\rightarrow K^{m}\)があるとき、ある\(m\times n\)行列\(A\)が存在し\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=A\boldsymbol{x}\)と表される。

(2)線形写像と表現行列

体\(K\)上の有限次元ベクトル空間\(V,W\)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)があり、\(\dim V=m,\dim W=n\)として\(V\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)、\(W\)の基底を\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\)として、この基底での\(f\)の表現行列を\(A\)とする。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\left(x_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{m}x_{i}\boldsymbol{v}_{i}\)と表すことができ、
\[ f\left(\boldsymbol{x}\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{i}\left(A\right)_{i,j}x_{j} \] が成り立つ。

(3)線形変換と表現行列

体\(K\)上の有限次元ベクトル空間\(V\)と線形変換\(T:V\rightarrow V\)があり、\(\dim V=m\)として\(V\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)、この基底での\(T\)の表現行列を\(A\)とする。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\left(x_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\boldsymbol{v}_{i}\)と表すことができ、
\[ T\left(\boldsymbol{x}\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{v}_{i}\left(A\right)_{i,j}x_{j} \] が成り立つ。

(1)

\(K^{n}\)での標準基底を\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)、\(K^{m}\)での標準基底を\(\left\{ \boldsymbol{e}'_{1},\boldsymbol{e}'_{2},\cdots,\boldsymbol{e}'_{m}\right\} \)とする。
また、\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{e}'_{1},\boldsymbol{e}'_{2},\cdots,\boldsymbol{e}'_{m}\right\} \)への表現行列を\(A\)とする。
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}\right) & =f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{e}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}x_{k}f\left(\boldsymbol{e}_{k}\right)\\ & =\left(f\left(\boldsymbol{e}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{e}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{e}_{n}\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{e}'_{1},\boldsymbol{e}'_{2},\cdots,\boldsymbol{e}'_{m}\right)A\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =IA\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =A\boldsymbol{x} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(2)

表現行列の定義より、
\[ \left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A \] となるので、任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)について、
\[ f\left(\boldsymbol{v}_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{w}_{j}\left(A\right)_{j,i} \] となる。
これより、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\left(x_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{m}x_{i}\boldsymbol{v}_{i}\)と表すことができ、
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}\right) & =f\left(\sum_{i=1}^{m}x_{i}\boldsymbol{v}_{i}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{m}x_{i}f\left(\boldsymbol{v}_{i}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{m}x_{i}\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{w}_{j}\left(A\right)_{j,i}\\ & =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{w}_{j}\left(A\right)_{j,i}x_{i} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。