距離空間での集積点と閉包の点列による別定義

by nomura · 2024年4月30日

距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
距離空間$\left(X,d\right)$があるとき次が成り立つ。

(1)

$X$の部分集合を$A\subseteq X$として、$x\in X$が$A$の集積点であることと、ある点列$\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} $が存在し$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x$となることは同値である。
すなわち、$A\in X,x\in X$として、
\[ x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] である。

(2)

$X$の部分集合を$A\subseteq X$として、$x\in X$が$A$の触点であることと、ある点列$\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A$が存在し$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x$となることは同値である。
すなわち、$A\in X,x\in X$として、
\[ x\in A^{a}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] である。

位相空間でも集積点については$A\in X,x\ni X$として、
\[ x\in A^{d}\Leftarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] 触点については、$A\in X,x\ni X$として、
\[ x\in A^{a}\Leftarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] が成り立ちますが、共に$\Rightarrow$は一般的に成り立ちません。

(1)

$\Rightarrow$

$x\in X$が$A$の集積点であるとき、集積点の定義より、任意の$n\in\mathbb{N}$に対し$B\left(x,n^{-1}\right)\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset$となる。
このとき各$n$に対し$x_{n}\in B\left(x,n^{-1}\right)$を任意に選ぶと、$d\left(x_{n},x\right)<n^{-1}$となる。
従って、任意の$\epsilon>0$に対し、$\frac{1}{\epsilon}<N$となる$N\in\mathbb{N}$を選べば、$N\leq n\rightarrow d\left(x_{n},x\right)<n^{-1}\leq N^{-1}<\epsilon$となるので、$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x$となる。
故に$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

ある点列$\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} $が存在し$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x$となるとき、任意の$\epsilon>0$に対しある$N\in\mathbb{N}$が存在し、$N\leq n\rightarrow d\left(x_{n},x\right)<\epsilon$であるので、$d\left(x_{n},x\right)<\epsilon\leftrightarrow x_{n}\in B\left(x,\epsilon\right)$より、$N\leq n\rightarrow x_{n}\in B\left(x,\epsilon\right)$となる。
従って、$x_{n}\in B\left(x,\epsilon\right)\land x_{n}\in A\setminus\left\{ x\right\} $なので$x_{n}\in B\left(x,\epsilon\right)\cap A\setminus\left\{ x\right\} \ne\emptyset$となるので、$x$は$A$の集積点となる。
故に$\Leftarrow$が成り立つ。