距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
対偶をとると、ハウスドルフ空間でないならば距離空間とはならない。
\(\Rightarrow\)
距離空間\(\left(X,d\right)\)の任意の異なる2点\(x,y\)に対し、\(0<d\left(x,y\right)\)なので\(\epsilon=d\left(x,y\right)\)とおくと、開近傍\(U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right),U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)\)は\(U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right)\cap U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)=\emptyset\)を満たすのでハウスドルフ空間になる。\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
上限位相が反例である。
ページ情報
| タイトル | 距離空間ならばハウスドルフ空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fs1izgfh/ |
| SNSボタン |
ユークリッド距離は距離空間
\[
d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|
\]
距離空間での有界列の定義
\[
d\left(x_{n},a\right)\leq M
\]
有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
有限位相空間では距離化可能と離散位相は同値である。
距離空間ではコンパクト集合と点列コンパクト集合とは同値