3角形関数の定義
3角形関数の定義
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
\(x\)軸で囲まれる面積は1、すなわち\(\int_{-1}^{1}\text{tri}\left(x\right)dx=1\)となります。
\begin{align*}
\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| & =\begin{cases}
-\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & x<-1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & -1\leq x<0\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 0\leq x<1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
0 & x<-1\\
x+1 & -1\leq x<0\\
-x+1 & 0\leq x<1\\
0 & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\mathrm{tri}\left(x\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角形関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fo42rrdo/ |
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生成される部分空間
\[
W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K}
\]
1次従属・1次独立の基本性質
ベクトル$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$が1次従属であれば$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}$も1次従属である。
1次関係と1次独立と1次従属の定義
\[
\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0
\]
部分ベクトル空間(線形部分空間)の定義と性質
\[
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\rightarrow\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W
\]