有理式のルートが整数になる問題

有理式のルートが整数になる問題

\[ \sqrt{\frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}} \]

が整数となる整数\(n\)を求めよ。

(0)

\begin{align*} \sqrt{\frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}} & =\sqrt{\frac{n^{2}+2+81}{n^{2}+2}}\\ & =\sqrt{1+\frac{3^{4}}{n^{2}+2}} \end{align*}

となるので、\(3^{4}\)は\(n^{2}+2\)で割り切れないといけので、

\[ n^{2}+2=\left\{ 1,3,3^{2},3^{3},3^{4}\right\} \]

となる。
これより、

\[ n^{2}=\left\{ -1,1,7,25,79\right\} \]

となるので、\(n\)が整数となるのは
\[ n^{2}=\left\{ 1,25\right\} \]

のときのみであり

\[ n=\left\{ \pm1,\pm5\right\} \]

この\(n\)のとき、与式が整数になるものを求める。

\begin{align*} \left[\sqrt{\frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}}\right]_{n=\pm1} & =\left[\sqrt{1+\frac{3^{4}}{n^{2}+2}}\right]_{n=\pm1}\\ & =\sqrt{1+\frac{3^{4}}{3}}\\ & =\sqrt{1+27}\\ & =\sqrt{28} \end{align*}

\begin{align*} \left[\sqrt{\frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}}\right]_{n=\pm5} & =\left[\sqrt{1+\frac{3^{4}}{n^{2}+2}}\right]_{n=\pm5}\\ & =\sqrt{1+\frac{3^{4}}{27}}\\ & =\sqrt{1+3}\\ & =2 \end{align*}

となるので、

\[ n=\left\{ \pm5\right\} \]

となる。

(0)-2

与式を\(m\)、すなわち、

\[ \sqrt{\frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}}=m \]

とおくと、\(m\geq0\)となり、\(m\ne0,1\)なので、\(m\)は2以上の整数となる。
両辺を2乗して整理すると、

\[ \frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}=m^{2} \]

\begin{align*} 0 & =\left(m^{2}-1\right)n^{2}+2m^{2}-83\\ & =\left(m^{2}-1\right)\left(n^{2}+\frac{2m^{2}-83}{m^{2}-1}\right)\\ & =\left(m^{2}-1\right)\left(n^{2}+2-\frac{81}{m^{2}-1}\right)\\ & =\left(m^{2}-1\right)\left(n^{2}+2-\frac{81}{m^{2}-1}\right)\\ & =\left(m^{2}-1\right)\left(n^{2}-\left(\frac{81}{m^{2}-1}-2\right)\right)\\ & =\left(m^{2}-1\right)\left(n+\sqrt{\frac{3^{4}}{m^{2}-1}-2}\right)\left(n-\sqrt{\frac{3^{4}}{m^{2}-1}-2}\right) \end{align*}

より、

\[ n=\pm\sqrt{\frac{3^{4}}{m^{2}-1}-2} \]

となるが、\(n\)が整数となるためには、

\[ m^{2}-1=\left\{ 3^{0},3^{1},3^{2},3^{3},3^{4}\right\} \]

でないといけないので、

\[ m^{2}=\left\{ 2,4,10,28,81\right\} \]

となるので\(m^{2}=4\)のみとなり\(m\)は2以上の整数なので\(m=2\)となる。
このとき、

\begin{align*} n & =\pm\sqrt{\frac{3^{4}}{2^{2}-1}-2}\\ & =\pm\sqrt{3^{3}-2}\\ & =\pm\sqrt{25}\\ & =\pm5 \end{align*}

となり\(n\)は整数となる。
故に解は\(n=\left\{ \pm5\right\} \)となる。

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タイトル

有理式のルートが整数になる問題

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https://www.nomuramath.com/flw3yy5u/

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