開球同士が交わるときの包含関係

by nomura · 2023年6月25日

開球同士が交わるときの包含関係
距離空間$\left(X,d\right)$上に2つの開球$B\left(x_{1},r_{1}\right),B\left(x_{2},r_{2}\right)$があるとき、
\[ B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right) \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。

$\Rightarrow$

任意の$a\in B\left(x_{2},r_{2}\right)$に対し、$d\left(x_{1},a\right)\leq d\left(x_{1},x_{2}\right)+d\left(x_{2},a\right)<r_{1}+r_{2}+r_{2}=r_{1}+2r_{2}\leq r_{1}+2r_{1}=3r_{1}$となるので$a\in B\left(x_{1},3r_{1}\right)$となる。
従って$B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)$となる。

$\Leftarrow$は一般的に成り立たない

反例で示す。
距離空間は通常距離$d$をとり$\left(\mathbb{R},d\right)$とする。
$B\left(0,1\right)\subseteq B\left(2,3\right)$であっても$B\left(2,1\right)\cap B\left(0,1\right)\ne\emptyset\land1\leq1\Leftrightarrow B\left(2,1\right)\cap B\left(0,1\right)\ne\emptyset\Leftrightarrow\bot$と偽になるので$\Leftarrow$は一般的に成り立たない。