分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則・正規・その他)の定義
分離公理を以下で定義する。

基本的分離公理

(0)\(T_{0}\)空間(コルモゴロフ空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の異なる2点\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U\in\mathcal{O}\)が存在し、\(x\in U\land y\notin U\)または\(y\in U\land x\notin U\)となるとき\(T_{0}\)空間という。
または、異なる任意の2点\(x,y\in X\)が位相的に識別可能であるとき、\(T_{0}\)空間という。

(1)\(T_{1}\)空間(フレシェ空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の異なる2点が分離できるとき、\(T_{1}\)空間という。
すなわち、任意の異なる2点\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U_{x}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(x\in U_{x}\land y\notin U_{x}\)となるとき\(T_{1}\)空間という。
\(T_{1}\)空間ならば\(T_{0}\)空間である。
\(T_{1}\)空間であることと、\(T_{0}\)空間かつ\(R_{0}\)空間となることは同値である。

(2)\(T_{2}\)空間(ハウスドルフ空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の異なる2点が開集合で分離できるとき、\(T_{2}\)空間という。
すなわち、任意の異なる2点\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U_{x},U_{y}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(x\in U_{x},y\in U_{y},U_{x}\cap U_{y}=\emptyset\)となるとき\(T_{2}\)空間という。
\(T_{2}\)空間ならば\(T_{1}\)空間である。
\(T_{2}\)空間であることと、\(T_{0}\)空間かつ\(R_{1}\)空間となることは同値である。

(3)\(T_{3}\)空間(ヴィエトリス空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の点と任意の閉集合について、包含関係にないならば開集合で分離できるとき\(T_{3}\)空間という。
すなわち、任意の点\(x\in X\)と任意の閉集合\(F\subseteq X\)に対し、ある開集合\(U_{x},U_{F}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(x\notin F\)ならば、\(x\in U_{x},F\subseteq U_{F},U_{x}\cap U_{F}=\emptyset\)を満たすとき\(T_{3}\)空間という。
\(F=\emptyset\)のときは\(U_{x}=X,U_{F}=\emptyset\)とすれば成り立つ。
\(T_{3}\)空間ならば\(R_{1}\)空間となる。

(4)\(T_{4}\)空間(ティーツェ空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の2つの閉集合について、交わらないならば開集合で分離できるとき\(T_{4}\)空間という。
すなわち、任意の閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq X\)に対し、ある開集合\(U_{F_{1}},U_{F_{2}}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)ならば、\(F_{1}\subseteq U_{F_{1}},F_{2}\subseteq U_{F_{2}},U_{F_{1}}\cap U_{F_{2}}=\emptyset\)を満たすとき\(T_{4}\)空間という。
\(F_{1}=\emptyset\)のときは\(U_{F_{1}}=\emptyset,U_{F_{2}}=X\)、\(F_{2}=\emptyset\)のときは\(U_{F_{1}}=X,U_{F_{2}}=\emptyset\)とすれば成り立つ。

(5)正則空間

\(T_{1}\)空間かつ\(T_{3}\)空間のとき、正則空間という。
正則空間であることと、\(T_{0}\)空間かつ\(T_{3}\)空間であることは同値である。
正則空間ならば\(T_{2}\)空間となる。
正則空間ならば\(T_{2\frac{1}{2}}\)空間となる。

(6)正規空間

\(T_{1}\)空間かつ\(T_{4}\)空間のとき、正規空間という。
正規空間ならば完全正則空間である。
また、正規空間ならば正則空間である。

その他分離公理

(7)\(R_{0}\)空間(対称的空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の位相的に識別可能な任意の2点\(x,y\)が分離できるとき\(R_{0}\)空間という。

(8)\(R_{1}\)空間(前正則空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の位相的に識別可能な任意の2点\(x,y\)が開集合で分離できるとき、\(R_{1}\)空間という。
\(R_{1}\)空間ならば\(R_{0}\)空間である。

(9)\(T_{2\frac{1}{2}}\)空間(ウリゾーン空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の異なる任意の2点が閉近傍で分離できるとき、\(T_{2\frac{1}{2}}\)空間という。
\(T_{2\frac{1}{2}}\)空間ならば\(T_{2}\)空間である。

(10)完全\(T_{2}\)空間(完全ハウスドルフ空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の異なる任意の2点が関数で分離できるとき、完全\(T_{2}\)空間という。
完全\(T_{2}\)空間ならば\(T_{2\frac{1}{2}}\)空間である。

(11)完全\(T_{3}\)空間

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の点\(x\in X\)と任意の閉集合\(A\subseteq X\)について、\(x\notin A\)ならば\(x\)と\(A\)が関数により分離できるとき完全\(T_{3}\)空間という。
完全\(T_{3}\)空間ならば\(T_{3}\)空間である。
完全\(T_{3}\)空間の完全(completely)は関数的分離という意味です。

(12)完全正則空間(チホノフ空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が\(T_{1}\)空間かつ完全\(T_{3}\)空間となるとき、完全正則空間という。
完全正則空間であることと、\(T_{0}\)空間かつ完全\(T_{3}\)空間であることは同値である。
完全正則空間ならば正則空間である。
また、完全正則空間ならば完全\(T_{2}\)空間である。
完全正則空間の完全(completely)は関数的分離という意味です。

(13)完全\(T_{4}\)空間

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が完全空間かつ\(T_{4}\)空間となるとき、完全\(T_{4}\)空間という。

(14)完全正規空間

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が完全空間かつ正規空間(\(T_{4}\)かつ\(T_{1}\))となるとき、完全正規空間という。

(15)全部分\(T_{4}\)空間

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の部分空間\(\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が\(T_{4}\)空間となるとき、全部分\(T_{4}\)空間という。
または、互いの閉包と交わらない任意の集合\(A,B\subseteq X\)が開集合で分離ができるとき、全部分\(T_{4}\)空間という。
全部分\(T_{4}\)空間ならば\(T_{4}\)空間である。

(16)全部分正規空間

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が全部分\(T_{4}\)空間かつ\(T_{1}\)空間となるとき、全部分正規空間という。
全部分正規空間ならば正規空間となる。

(17)完全空間

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の閉集合が\(G_{\delta}\)集合となるとき、完全空間という。
\(G_{\delta}\)集合であっても閉集合でなくても構いません。

(18)\(T_{5}\)空間(全部分\(T_{4}\)空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が全部分\(T_{4}\)空間となるとき、\(T_{5}\)空間という。

(19)\(T_{6}\)空間(関数的分離\(T_{4}\)空間)

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が互いに素な閉集合同士を厳密に関数的分離でき、かつ\(T_{4}\)空間となるとき、\(T_{6}\)空間という。