開基の基本性質

by nomura · 2024年6月21日

開基の基本性質
位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$で$\mathcal{B}$が開基であることと、任意の開集合$O\in\mathcal{O}$と任意の元$x\in O$に対し、ある$\mathcal{B}$の元$B\in\mathcal{B}$が存在し、$x\in B\subseteq O$となることは同値である。

$\Rightarrow$

条件より$\mathcal{B}$は開基なので、任意の開集合$O\in\mathcal{O}$に対し、$\mathcal{B}$のある部分集合$\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \subseteq\mathcal{B}$が存在し$O=\bigcup\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}$となる。
従って任意の元$x\in O$に対し、ある$\lambda\in\Lambda$が存在し、$x\in B_{\lambda}$となる。
これより$O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}$なので$B_{\lambda}\subseteq O$となり、$x\in B_{\lambda}\subseteq O$となる。
故に$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

条件より、任意の開集合$O\in\mathcal{O}$と任意の元$x\in O$に対し、ある$\mathcal{B}$の元$B_{x}\in\mathcal{B}$が存在し、$x\in B_{x}\subseteq O$となる。
これより、任意の開集合$O$に対して、$O=\bigcup_{x\in O}B_{x}$とできるので$\mathcal{B}$は開基となる。
故に$\Leftarrow$が成り立つ。