ベクトル空間の商写像

線形写像であることの証明

加法性については、任意の\(x,y\in V\)に対し、
\begin{align*} f\left(x+y\right) & =x+y+N\\ & =x+N+y+N\\ & =f\left(x\right)+f\left(y\right) \end{align*} となるので成り立つ。
斉1次性については、任意の\(c\in K,x\in V\)に対し、
\begin{align*} cf\left(x\right) & =c\left(x+N\right)\\ & =cx+N\\ & =f\left(cx\right) \end{align*} となるので成り立つ。
これらより、加法性・斉1次性を満たすので\(f\)は線形写像となる。

全射であることの証明

任意の\(\boldsymbol{x}+N\in V/N\)に対し、\(\boldsymbol{x}\in V\)となるので写像\(f\)は全射となる。