有限個の連結・弧状連結な集合の直積は連結・弧状連結
有限個の連結・弧状連結な集合の直積は連結・弧状連結
(1)
\(n\in\mathbb{N}\)個の位相空間\(\left(X_{1},\mathcal{O}_{1}\right),\left(X_{2},\mathcal{O}_{2}\right),\cdots,\left(X_{n},\mathcal{O}_{n}\right)\)が全て連結であることと、その直積空間\(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\)も連結になることは同値である。(2)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が共に弧状連結であることと、直積空間\(X\times Y\)が弧状連結となることは同値である。無限個の連結集合の直積も連結になります。
無限個の弧状連結集合の直積も弧状連結となります。
無限個の弧状連結集合の直積も弧状連結となります。
(1)
\(\Rightarrow\)
\(n=1\)のとき
明らかに成り立つ。\(n=2\)のとき
\(X_{1},X_{2}\)は連結なので\(X_{1}\ne\emptyset,X_{2}\ne\emptyset\)であり、任意の\(x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2}\)に対し、\(Y_{x_{1},x_{2}}=\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\)とおく。このとき、\(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\)は\(X_{1}\)と同相で\(\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\)は\(X_{2}\)と同相より、\(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right),\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\)は共に連結となり、\(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\cap\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)=\left\{ \left(x_{1},x_{2}\right)\right\} \ne\emptyset\)なので、\(Y_{x_{1},x_{2}}\)は連結となる。
また、
\begin{align*} \left\{ x_{1}\right\} \times X_{2} & \subseteq\left(\bigcap_{x_{2}\in X_{2}}\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\\ & =\bigcap_{x_{2}\in X_{2}}\left(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\right)\\ & =\bigcap_{x_{2}\in X_{2}}Y_{x_{1},x_{2}} \end{align*} であるので、\(\bigcap_{x_{2}\in X_{2}}Y_{x_{1},x_{2}}\ne\emptyset\)となり、\(\bigcup_{x_{2}\in X_{2}}Y_{x_{1},x_{2}}\)は連結となる。
ここで、
\begin{align*} \bigcup_{x_{2}\in X_{2}}Y_{x_{1},x_{2}} & =\bigcup_{x_{2}\in X_{2}}\left(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\right)\\ & =\left(\bigcup_{x_{2}\in X_{2}}\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\\ & =\left(X_{1}\times\bigcup_{x_{2}\in X_{2}}\left\{ x_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\\ & =\left(X_{1}\times X_{2}\right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\\ & =\left(X_{1}\times X_{2}\right) \end{align*} であるので、\(X_{1}\times X_{2}\)も連結となる。
故に\(n=2\)のとき成り立つ。
\(3\leq n\)のとき
\(n=k\)のとき成り立つと仮定すると、\(n=k+1\)のときは\(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\times X_{n+1}\)と\(\left(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\right)\times X_{n+1}\)は同相であるので、連結な\(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\)と\(X_{n+1}\)の直積になり\(n=2\)の場合より、この直積空間\(\left(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\right)\times X_{n+1}\)は連結となる。故に数学的帰納法より、\(3\leq n\)のとき成り立つ。
-
これらより、連結な有限個の直積空間は連結となる。\(\Leftarrow\)
射影\(\pi_{1}:X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\rightarrow X_{1}\)は連続写像であるので\(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\)が連結ならば\(X_{1}\)も連結となる。\(X_{2},\cdots,X_{n}\)についても同様に連結となる。
これより\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。別証明
\(n=2\)のときの\(\Rightarrow\)を示す。任意に\(\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\in X_{1}\times X_{2}\)をとる。
このとき、写像\(f:X_{1}\rightarrow X_{1}\times X_{2},x\mapsto\left(x,b_{2}\right)\)と\(g:X_{2}\rightarrow X_{1}\times X_{2},y\mapsto\left(a_{1},y\right)\)を定めると、写像\(f,g\)は共に連続となるので、像\(f\left(X_{1}\right)=X_{1}\times\left\{ b_{2}\right\} ,g\left(X_{2}\right)=\left\{ a_{1}\right\} \times X_{2}\)は共に連結となる。
このとき、
\[ \left(a_{1},b_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\in f\left(X_{1}\right) \] \[ \left(a_{1},a_{2}\right),\left(a_{1},b_{2}\right)\in g\left(X_{2}\right) \] となるので、同値関係\(\left(a_{1},b_{2}\right)\sim\left(b_{1},b_{2}\right)\)と\(\left(a_{1},a_{2}\right)\sim\left(a_{1},b_{2}\right)\)が成り立ち、推移律より、\(\left(a_{1},a_{2}\right)\sim\left(a_{1},b_{2}\right)\sim\left(b_{1},b_{2}\right)\)が成り立つ。
従って、\(\left(a_{1},a_{2}\right)\)と\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)は同じ連結成分となるので\(X_{1}\times X_{2}\)は連結となる。
故に連結な位相空間\(X_{1},X_{2}\)同士の直積\(X_{1}\times X_{2}\)は連結となる。
(2)
\(\Rightarrow\)
\(X\times Y\)の任意の2点\(\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\)をとる。\(X\)は弧状連結なので、ある連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X\)が存在して、\(f\left(0\right)=a_{1},f\left(1\right)=b_{1}\)を満たす。
同様に\(Y\)は弧状連結なので、ある連続写像\(g:\left[0,1\right]\rightarrow X\)が存在して、\(g\left(0\right)=a_{2},g\left(1\right)=b_{2}\)を満たす。
ここで写像\(f\times g:\left[0,1\right]\rightarrow X\times Y\)を\(\left(f\times g\right)\left(x\right)=\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)\)とすると、\(f\times g\)は連続であり、\(\left(f\times g\right)\left(0\right)=\left(f\left(0\right),g\left(0\right)\right)=\)\(\left(a_{1},a_{2}\right)\)となり\(\left(f\times g\right)\left(1\right)=\left(f\left(1\right),g\left(1\right)\right)=\)\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)となる。
まとめると、任意の\(\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\in X\times Y\)に対し、写像\(f\times g:\left[0,1\right]\rightarrow X\times Y\)を\(\left(f\times g\right)\left(x\right)=\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)\)とすると、\(f\times g\)は連続であり、\(\left(f\times g\right)\left(0\right)=\)\(\left(a_{1},a_{2}\right)\)となり\(\left(f\times g\right)\left(1\right)=\)\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)となるので弧状連結となる。
故に\(\Rightarrow\)は成り立つ。
\(\Rightarrow\)
射影\(\pi_{X}:X\times Y\rightarrow X\)は連続写像であるので\(X\times Y\)が弧状連結ならば\(X\)も弧状連結となる。\(Y\)についても同様に弧状連結となる。
これより\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。ページ情報
タイトル | 有限個の連結・弧状連結な集合の直積は連結・弧状連結 |
URL | https://www.nomuramath.com/qj1e3b3f/ |
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連結・非連結の別定義
非連結であることと、空集合・全体集合以外で開集合かつ閉集合となる集合が存在することは同値。
連結成分・弧状連結成分が互いに素
連結空間の閉包・内部
連結であれば閉包も連結になる。
櫛(くし)空間と位相幾何学者の正弦曲線の定義
\[
\begin{cases}
A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\
A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\
B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\}
\end{cases}
\]