商空間(商ベクトル空間)の定義と性質
\[
V/N=\left\{ \boldsymbol{x}+N;\boldsymbol{x}\in V\right\}
\]
カテゴリー: ベクトル空間
ベクトル空間での剰余集合での和集合・積集合・差集合・対称差の演算
\[
\left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)
\]
商集合と商類の性質
\[
A+\left\{ C\right\} =\left\{ C\right\} +A
\]
ベクトル空間での平行移動と集合の和と商集合の違い
\[
\left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} =A/B
\]
ベクトル空間での剰余集合(商集合)と剰余類(商類)の定義と性質
\[
\left(A/B\right)^{c}\subseteq A^{c}/B
\]
基底の性質
$K^{n}$空間では$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$が基底であることと、$\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0$であることは同値である。
和空間・積集合の次元
\[
\dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)
\]
ベクトルの基底と成分の変換
\[
\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P
\]
ベクトルの基底に関する成分
\[
\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{n}
\end{array}\right)
\]
和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間
部分空間の和空間・積集合・像・逆像は部分空間になる。
生成される部分空間
\[
W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K}
\]
1次従属・1次独立の基本性質
ベクトル$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$が1次従属であれば$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}$も1次従属である。
1次関係と1次独立と1次従属の定義
\[
\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0
\]
部分ベクトル空間(線形部分空間)の定義と性質
\[
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\rightarrow\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W
\]
零ベクトル・逆ベクトルの性質
ベクトル空間の零ベクトルは一意的である。
ベクトル空間(線形空間)の定義
\[
\boldsymbol{x}+\left(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)=\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)+\boldsymbol{z}
\]