一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
このとき、\(f\)が一様連続であれば各点連続である。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
このとき、\(f\)が一様連続であれば各点連続である。
逆は一般的に成り立たない。
一様連続の定義は、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1},x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] であり、各点連続の定義は、
\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] である。
全称記号と存在記号は順番により、
\[ \exists a,\forall b,P\left(a,b\right)\Rightarrow\forall b,\exists a,P\left(a,b\right) \] となるが、逆は一般的に成り立たない。
これより、一様連続であれば各点連続であるが、逆は一般的に成り立たない。
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1},x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] であり、各点連続の定義は、
\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] である。
全称記号と存在記号は順番により、
\[ \exists a,\forall b,P\left(a,b\right)\Rightarrow\forall b,\exists a,P\left(a,b\right) \] となるが、逆は一般的に成り立たない。
これより、一様連続であれば各点連続であるが、逆は一般的に成り立たない。
ページ情報
| タイトル | 一様連続であれば各点連続 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bwn8rqfu/ |
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離散位相は距離化可能
離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は離散距離空間$\left(X,d\right)$で距離化可能である。
距離関数は連続関数
距離空間$\left(X,d\right)$の距離関数$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$は直積距離空間$\left(X\times X,d'\right)$上の連続関数である。
点と集合との距離の関係
\[
d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}
\]
距離空間ならば第1可算空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算空間となる。