一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
このとき、\(f\)が一様連続であれば各点連続である。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
このとき、\(f\)が一様連続であれば各点連続である。
逆は一般的に成り立たない。
一様連続の定義は、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1},x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] であり、各点連続の定義は、
\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] である。
全称記号と存在記号は順番により、
\[ \exists a,\forall b,P\left(a,b\right)\Rightarrow\forall b,\exists a,P\left(a,b\right) \] となるが、逆は一般的に成り立たない。
これより、一様連続であれば各点連続であるが、逆は一般的に成り立たない。
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1},x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] であり、各点連続の定義は、
\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] である。
全称記号と存在記号は順番により、
\[ \exists a,\forall b,P\left(a,b\right)\Rightarrow\forall b,\exists a,P\left(a,b\right) \] となるが、逆は一般的に成り立たない。
これより、一様連続であれば各点連続であるが、逆は一般的に成り立たない。
ページ情報
| タイトル | 一様連続であれば各点連続 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bwn8rqfu/ |
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\[
d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|
\]
有界閉区間上でのハイネ・カントールの定理
有界閉区間上で関数が連続ならば一様連続である。
チェビシェフ距離は距離空間
\[
d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)
\]
距離関数は連続関数
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