無限多重根号の方程式

\[ \alpha=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}} \]

とおくと、\(0<\alpha\)となる。

ルートの中の第2項は\(\alpha\)と同じなので、

\[ \alpha=\sqrt{1-\alpha} \]

両辺を2乗して

\[ \alpha^{2}=1-\alpha \]

移行して、

\[ \alpha^{2}+\alpha-1=0 \]

\(\alpha\)についての2次方程式を解くと、

\begin{align*} \alpha & =\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*}

となるが、\(0<\alpha\)なので

\[ \alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \]

となる。

また与式左辺は、

\[ \sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\alpha \]

となる。ルートの中の第2項は左辺と同じなので、

\begin{align*} \sqrt{x+\alpha} & =\alpha\\ & =\sqrt{1-\alpha} \end{align*}

両辺を2乗して、

\[ x+\alpha=1-\alpha \]

これより、\(x\)は、

\begin{align*} x & =1-2\alpha\\ & =1-\left(-1+\sqrt{5}\right)\\ & =2-\sqrt{5} \end{align*}