無限多重根号の方程式
無限多重根号の方程式
\[ \sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}} \]
を満たす実数\(x\)を求めよ。
\[ \alpha=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}} \]
とおくと、\(0<\alpha\)となる。
ルートの中の第2項は\(\alpha\)と同じなので、
\[ \alpha=\sqrt{1-\alpha} \]
両辺を2乗して
\[ \alpha^{2}=1-\alpha \]
移行して、
\[ \alpha^{2}+\alpha-1=0 \]
\(\alpha\)についての2次方程式を解くと、
\begin{align*} \alpha & =\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*}
となるが、\(0<\alpha\)なので
\[ \alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \]
となる。
また与式左辺は、
\[ \sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\alpha \]
となる。ルートの中の第2項は左辺と同じなので、
\begin{align*} \sqrt{x+\alpha} & =\alpha\\ & =\sqrt{1-\alpha} \end{align*}
両辺を2乗して、
\[ x+\alpha=1-\alpha \]
これより、\(x\)は、
\begin{align*} x & =1-2\alpha\\ & =1-\left(-1+\sqrt{5}\right)\\ & =2-\sqrt{5} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 無限多重根号の方程式 |
URL | https://www.nomuramath.com/jb3ju5d3/ |
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