無限多重根号の方程式
無限多重根号の方程式
\[ \sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}} \] を満たす実数\(x\)を求めよ。
\[ \sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}} \] を満たす実数\(x\)を求めよ。
\[
\alpha=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}}
\]
とおくと、\(0<\alpha\)となる。
ルートの中の第2項は\(\alpha\)と同じなので、
\[ \alpha=\sqrt{1-\alpha} \] 両辺を2乗して
\[ \alpha^{2}=1-\alpha \] 移行して、
\[ \alpha^{2}+\alpha-1=0 \] \(\alpha\)についての2次方程式を解くと、
\begin{align*} \alpha & =\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*} となるが、\(0<\alpha\)なので
\[ \alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \] となる。
また与式左辺は、
\[ \sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\alpha \] となる。ルートの中の第2項は左辺と同じなので、
\begin{align*} \sqrt{x+\alpha} & =\alpha\\ & =\sqrt{1-\alpha} \end{align*} 両辺を2乗して、
\[ x+\alpha=1-\alpha \] これより、\(x\)は、
\begin{align*} x & =1-2\alpha\\ & =1-\left(-1+\sqrt{5}\right)\\ & =2-\sqrt{5} \end{align*}
ルートの中の第2項は\(\alpha\)と同じなので、
\[ \alpha=\sqrt{1-\alpha} \] 両辺を2乗して
\[ \alpha^{2}=1-\alpha \] 移行して、
\[ \alpha^{2}+\alpha-1=0 \] \(\alpha\)についての2次方程式を解くと、
\begin{align*} \alpha & =\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*} となるが、\(0<\alpha\)なので
\[ \alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \] となる。
また与式左辺は、
\[ \sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\alpha \] となる。ルートの中の第2項は左辺と同じなので、
\begin{align*} \sqrt{x+\alpha} & =\alpha\\ & =\sqrt{1-\alpha} \end{align*} 両辺を2乗して、
\[ x+\alpha=1-\alpha \] これより、\(x\)は、
\begin{align*} x & =1-2\alpha\\ & =1-\left(-1+\sqrt{5}\right)\\ & =2-\sqrt{5} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 無限多重根号の方程式 |
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ルートiが無限に続くといくつになる?
\[
\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{\cdots}}}}=?
\]
係数が何の値か気付けるかな
\[
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\]
まずは分母から処理しましょう
\[
\frac{2^{11}+3^{8}+6^{5}}{2^{5}+2^{8}+3^{6}}=?
\]
3連続数字の積に1を足した根号
\[
\sqrt{55\cdot56\cdot57+1}=?
\]