積分問題
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx \] を求めよ。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx \] を求めよ。
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx & =\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\frac{1}{n}-1}}{1+y}dy\qquad,\qquad y=x^{n}\\
& =\frac{1}{n}\int_{0}^{1}z^{-\frac{1}{n}}(1-z)^{\frac{1}{n}-1}dz\qquad,\qquad z=\frac{1}{1+y}\\
& =\frac{1}{n}B\left(1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\qquad,\qquad B\text{はベーター関数}\\
& =\frac{1}{n}\varGamma\left(1-\frac{1}{n}\right)\varGamma\left(\frac{1}{n}\right)\qquad,\qquad B\text{と}\varGamma\text{との関係}B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\
& =\frac{\pi}{n}\sin^{-1}\frac{\pi}{n}\qquad,\qquad\text{相反公式}\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi\sin^{-1}\pi x
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 積分問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aqufozzl/ |
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偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
二項係数とベータ関数を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}4^{n}B(n,n)=2\sqrt{\pi}
\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[
C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}
\]
円周率
円周率πの定義と積分での表示。