(1)

条件より\(f\)は全射なので\(f\left(U\right)=V\)となる。
これより、\(\im\left(g\circ f\right)=\left(g\circ f\right)\left(U\right)=g\left(f\left(U\right)\right)=g\left(V\right)=\im g\)となる。
従って題意は成り立つ。

(1)-2

\(\subseteq\)

任意に\(\boldsymbol{y}\in\im\left(g\circ f\right)\)をとる。
このとき、ある\(\boldsymbol{x}\in U\)が存在し\(\boldsymbol{y}=\left(g\circ f\right)\left(\boldsymbol{x}\right)=g\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\)となる。
ここで、\(f\left(\boldsymbol{x}\right)\in V\)であるので、\(\boldsymbol{y}=g\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\subseteq g\left(V\right)=\im g\)となる。
従って、\(\im\left(g\circ f\right)\subseteq\im g\)となる。

\(\supseteq\)

任意に\(\boldsymbol{z}\in\im g\)をとる。
このとき、ある\(\boldsymbol{y}\in V\)が存在し\(\boldsymbol{z}=g\left(\boldsymbol{y}\right)\)となる。
また、\(f\)は全射であるので、ある\(\boldsymbol{x}\in U\)が存在し、\(\boldsymbol{y}=f\left(\boldsymbol{x}\right)\)となる。
これより、\(\boldsymbol{z}=g\left(\boldsymbol{y}\right)=g\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)=\left(g\circ f\right)\left(\boldsymbol{x}\right)\)となるので、\(\boldsymbol{z}\in\im\left(g\circ f\right)\)となる。
従って\(\supseteq\)が成り立つ。

\(=\)

これらより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので\(\im\left(g\circ f\right)=\im g\)となる。
故に題意は成り立つ。

(2)

写像\(h:f\left(U\right)\rightarrow\left(g\circ f\right)\left(U\right),\boldsymbol{x}\mapsto h\left(\boldsymbol{x}\right)=g\left(\boldsymbol{x}\right)\)を考える。
このとき、条件より\(g\)は線形写像かつ単射であり\(f\left(U\right)\subseteq V\)であるので、\(h\)も線形写像かつ単射となる。
また、\(h\left(f\left(U\right)\right)=\left\{ h\left(\boldsymbol{x}\right);\boldsymbol{x}\in f\left(U\right)\right\} =\left\{ g\left(\boldsymbol{x}\right);\boldsymbol{x}\in f\left(U\right)\right\} =g\left(f\left(U\right)\right)=\left(g\circ f\right)\left(U\right)\)となるので\(h\)は全射となる。
従って、\(h\)は線形写像であり、単射かつ全射となるので全単射となるので\(h\)は線形同型写像となり線形同型\(\left(U\right)\simeq\left(g\circ f\right)\left(U\right)\)となる。
これより、線形同型\(\im\left(g\circ f\right)=\left(g\circ f\right)\left(U\right)\simeq\im f=f\left(V\right)\)となる。
故に題意は成り立つ。

(2)-2

写像\(\phi:\im f\rightarrow\im\left(g\circ f\right),\boldsymbol{x}\mapsto\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=g\left(\boldsymbol{x}\right)\)を考える。
まず\(\phi\)が線形写像となることを示す。
この\(\phi\)は任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\im f,c\in K\)について、
\begin{align*} \phi\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =g\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\\ & =g\left(\boldsymbol{x}\right)+g\left(\boldsymbol{y}\right)\\ & =\phi\left(\boldsymbol{x}\right)+\phi\left(\boldsymbol{y}\right) \end{align*} より加法性を満たし、
\begin{align*} \phi\left(c\boldsymbol{x}\right) & =g\left(c\boldsymbol{x}\right)\\ & =cg\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =c\phi\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} より斉1次性を満たす。
従って、\(\phi\)は加法性・斉1次性を満たすので線形写像となる。
次に写像\(\phi\)が全単射であることを示す。
まず、\(\phi\)が単射であることを示す。
条件より\(g\)は単射なので\(\ker g=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)となり、\(\ker\phi=\left\{ \boldsymbol{x}\in\im f;\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{0}_{W}\right\} =\left\{ \boldsymbol{x}\in\im f;g\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{0}_{W}\right\} \subseteq\left\{ \boldsymbol{x}\in V;g\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{0}_{W}\right\} =\ker g=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)となる。
従って、\(\ker\phi\subseteq\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)となり、\(\phi\)は線形写像より\(\ker\phi\supseteq\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)が常に成り立つので、\(\ker\phi=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)となり、\(\phi\)は単射となる。
次に\(\phi\)が全射であることを示す。
任意の\(\boldsymbol{y}\in\im\left(g\circ f\right)\)をとる。
このとき、ある\(\boldsymbol{x}\in U\)が存在し、\(\boldsymbol{y}=\left(g\circ f\right)\left(\boldsymbol{x}\right)=g\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\)となり、\(f\left(\boldsymbol{x}\right)\in\im f\)なので\(g\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)=\phi\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\)となる。
従って、\(\boldsymbol{y}=g\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)=\phi\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\)となるので\(\phi\)は全射となる。
これらより、\(\phi\)は線形写像であり全射かつ単射となるので全単射となるので線形同型写像となり、線形同型\(\im f\simeq\im\left(g\circ f\right)\)となる。
従って、題意は成り立つ。