(1)

2次元数ベクトル空間\(K^{2}\)で行列\(A\)を
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right) \] として、\(A\)による線形変換を\(f_{A}:K^{2}\rightarrow K^{2},\boldsymbol{x}\mapsto f_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)=A\boldsymbol{x}\)として、\(K^{2}\)の部分空間\(W\)を
\[ W=\left\{ \left(x_{1},x_{2}\right)^{T}\in K^{2};x_{1}+x_{2}=0\right\} \] と定める。
このとき、\(W\)の任意の元\(\boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2}\right)^{T}\in W\)について、\(x_{1}+x_{2}=0\)であり、
\begin{align*} f_{A}\left(\boldsymbol{x}\right) & =A\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} x_{2}\\ x_{1} \end{array}\right) \end{align*} となり、\(x_{2}+x_{1}=x_{1}+x_{2}=0\)であるので、任意の\(\boldsymbol{x}\in W\)について、\(f_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)=\left(x_{2},x_{1}\right)^{T}\in W\)となる。
従って\(f\left(W\right)\subseteq W\)となるので、\(W\)は\(f_{A}\)に関して不変となる。

(2)

\(n\)次正方行列\(A\)は\(K^{n}\)から\(K^{n}\)に写す線形変換であり、固有空間\(W\left(\lambda\right)=\left\{ \boldsymbol{x};A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\right\} \)は\(K^{n}\)の部分空間である。
このとき、固有空間\(W\left(\lambda\right)\)は不変部分空間になる。
何故なら\(A\left(W\left(\lambda\right)\right)=\left\{ A\boldsymbol{x};A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\right\} =\left\{ \lambda\boldsymbol{x};A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\right\} =\lambda\left\{ \boldsymbol{x};A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\right\} =\lambda W\left(\lambda\right)\)となり、\(\boldsymbol{y}\in A\left(W\left(\lambda\right)\right)=\lambda W\left(\lambda\right)\)のとき、\(\boldsymbol{y}\)は部分空間である固有空間の元のスカラー倍なので、固有空間の元になり、\(\boldsymbol{y}\in W\left(\lambda\right)\)となる。
従って、\(\boldsymbol{y}\in A\left(W\left(\lambda\right)\right)\rightarrow\boldsymbol{y}\in W\left(\lambda\right)\)なので、\(A\left(W\left(\lambda\right)\right)\subseteq W\left(\lambda\right)\)となり不変部分空間になる。