グラム・シュミットの直交化
グラム・シュミットの直交化
体\(K\)上で内積空間\(V\)と基底\(\left\{ \boldsymbol{a}_{m}\right\} _{m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq V\)がある。
このとき、
\[ \boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert } \] \[ \boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert } \] と定めると\(\left\{ \boldsymbol{b}_{m}\right\} _{m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は\(V\)の正規直交基底となる。
体\(K\)上で内積空間\(V\)と基底\(\left\{ \boldsymbol{a}_{m}\right\} _{m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq V\)がある。
このとき、
\[ \boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert } \] \[ \boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert } \] と定めると\(\left\{ \boldsymbol{b}_{m}\right\} _{m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は\(V\)の正規直交基底となる。
内積の定義を\(\left\langle a\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =a\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \)としている場合はこれでいいが、\(\left\langle a\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\overline{a}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \)としている場合は、
\[ \boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert },\boldsymbol{a}_{m}\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert } \] \[ \boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert } \] となるので注意。
\[ \boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert },\boldsymbol{a}_{m}\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert } \] \[ \boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert } \] となるので注意。
通常のベクトル空間\(\mathbb{R}^{2}\)に標準内積を入れた内積空間\(\mathbb{R}^{2}\)で考える。
基底を\(\boldsymbol{a}_{1}=\left(1,0\right),\boldsymbol{a}_{2}=\left(1,1\right)\)とすると、
\begin{align*} \boldsymbol{b}'_{1} & =\boldsymbol{a}_{1}\\ & =\left(1,0\right) \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{b}'_{2} & =\boldsymbol{a}_{2}-\sum_{k=1}^{1}\left\langle \boldsymbol{a}_{2},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\\ & =\boldsymbol{a}_{2}-\left\langle \boldsymbol{a}_{2},\frac{\boldsymbol{b}'_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{1}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{1}\right\Vert }\\ & =\left(1,1\right)-\left\langle \left(1,1\right),\left(1,0\right)\right\rangle \left(1,0\right)\\ & =\left(1,1\right)-1\left(1,0\right)\\ & =\left(0,1\right) \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{b}_{1} & =\frac{\boldsymbol{b}'_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{1}\right\Vert }\\ & =\boldsymbol{b}'_{1}\\ & =\left(1,0\right) \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{b}_{2} & =\frac{\boldsymbol{b}'_{2}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{2}\right\Vert }\\ & =\boldsymbol{b}'_{2}\\ & =\left(0,1\right) \end{align*} となるので\(\boldsymbol{b}_{1}=\left(1,0\right),\boldsymbol{b}_{2}=\left(0,1\right)\)は\(\mathbb{R}^{2}\)の正規直交基底となる。
基底を\(\boldsymbol{a}_{1}=\left(1,0\right),\boldsymbol{a}_{2}=\left(1,1\right)\)とすると、
\begin{align*} \boldsymbol{b}'_{1} & =\boldsymbol{a}_{1}\\ & =\left(1,0\right) \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{b}'_{2} & =\boldsymbol{a}_{2}-\sum_{k=1}^{1}\left\langle \boldsymbol{a}_{2},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\\ & =\boldsymbol{a}_{2}-\left\langle \boldsymbol{a}_{2},\frac{\boldsymbol{b}'_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{1}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{1}\right\Vert }\\ & =\left(1,1\right)-\left\langle \left(1,1\right),\left(1,0\right)\right\rangle \left(1,0\right)\\ & =\left(1,1\right)-1\left(1,0\right)\\ & =\left(0,1\right) \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{b}_{1} & =\frac{\boldsymbol{b}'_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{1}\right\Vert }\\ & =\boldsymbol{b}'_{1}\\ & =\left(1,0\right) \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{b}_{2} & =\frac{\boldsymbol{b}'_{2}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{2}\right\Vert }\\ & =\boldsymbol{b}'_{2}\\ & =\left(0,1\right) \end{align*} となるので\(\boldsymbol{b}_{1}=\left(1,0\right),\boldsymbol{b}_{2}=\left(0,1\right)\)は\(\mathbb{R}^{2}\)の正規直交基底となる。
\(\boldsymbol{b}'_{m}\)が\(\boldsymbol{b}'_{1},\boldsymbol{b}'_{2},\cdots,\boldsymbol{b}'_{m-1}\)と互いに直交していることを示す。
\(m=1\)のときは、明らかに成り立つ。
\(k=m\)のとき成り立つと仮定する。
\(k=m+1\)のとき、任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)に対し、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{b}'_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1}-\sum_{k=1}^{m}\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\left\langle \sum_{k=1}^{m}\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\sum_{k=1}^{m}\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \left\langle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \left\langle \boldsymbol{b}'_{k},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{b}'_{i}\right\Vert \delta_{k,i}\\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =0 \end{align*} となる。
従って、数学的帰納法よりに任意の\(m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対し、\(\boldsymbol{b}'_{m}\)と\(\boldsymbol{b}'_{1},\boldsymbol{b}'_{2},\cdots,\boldsymbol{b}'_{m-1}\)は直交している。
すなわち、\(i\ne j\)のとき、\(\boldsymbol{b}'_{i},\boldsymbol{b}'_{j}\)は直交するので、\(\left\Vert \boldsymbol{b}{}_{i}\right\Vert =\left\Vert \frac{\boldsymbol{b}'_{i}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{i}\right\Vert }\right\Vert ,\left\Vert \boldsymbol{b}_{j}\right\Vert =\left\Vert \frac{\boldsymbol{b}'_{j}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{j}\right\Vert }\right\Vert \)も直交する。
また、任意の\(m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対し、\(\left\Vert \boldsymbol{b}{}_{m}\right\Vert =\)\(\left\Vert \frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert }\right\Vert =\frac{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert }=1\)となる。
これらより、\(\left\{ \boldsymbol{b}_{m}\right\} _{m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は\(V\)の正規直交基底となる。
\(m=1\)のときは、明らかに成り立つ。
\(k=m\)のとき成り立つと仮定する。
\(k=m+1\)のとき、任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)に対し、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{b}'_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1}-\sum_{k=1}^{m}\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\left\langle \sum_{k=1}^{m}\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\sum_{k=1}^{m}\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \left\langle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \left\langle \boldsymbol{b}'_{k},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{b}'_{i}\right\Vert \delta_{k,i}\\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{b}'_{i}\right\rangle \\ & =0 \end{align*} となる。
従って、数学的帰納法よりに任意の\(m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対し、\(\boldsymbol{b}'_{m}\)と\(\boldsymbol{b}'_{1},\boldsymbol{b}'_{2},\cdots,\boldsymbol{b}'_{m-1}\)は直交している。
すなわち、\(i\ne j\)のとき、\(\boldsymbol{b}'_{i},\boldsymbol{b}'_{j}\)は直交するので、\(\left\Vert \boldsymbol{b}{}_{i}\right\Vert =\left\Vert \frac{\boldsymbol{b}'_{i}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{i}\right\Vert }\right\Vert ,\left\Vert \boldsymbol{b}_{j}\right\Vert =\left\Vert \frac{\boldsymbol{b}'_{j}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{j}\right\Vert }\right\Vert \)も直交する。
また、任意の\(m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対し、\(\left\Vert \boldsymbol{b}{}_{m}\right\Vert =\)\(\left\Vert \frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert }\right\Vert =\frac{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert }=1\)となる。
これらより、\(\left\{ \boldsymbol{b}_{m}\right\} _{m\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は\(V\)の正規直交基底となる。
ページ情報
| タイトル | グラム・シュミットの直交化 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rdej8d04/ |
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正規直交基底での内積
\[
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}
\]
直交するならば1次独立
直交・直交直和・直交補空間・直交基底・正規直交基底の定義
\[
W^{\bot}=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;\forall\boldsymbol{y}\in W,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\right\}
\]
標準エルミート内積と標準内積
\[
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}
\]