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直交直和ならば直和であるが逆は一般的に成り立たないことの証明

\(\Rightarrow\)

対偶で示す。
すなわち、直和でないならば直交直交直和でないことを示せばいい。
直和でないので、ある\(\boldsymbol{a}\in V/\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が存在し、\(\boldsymbol{a}\in W_{1}\cap W_{2}\)となる。
これより、\(\boldsymbol{a}\in W_{1},\boldsymbol{a}\in W_{2}\)であり、\(\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}\)なので\(\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{a}\right\rangle >0\)となるので直交直和ではない。
従って対偶が成り立つので、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(\mathbb{R}^{2}\)に標準内積を入れた内積空間\(\left(\mathbb{R}^{2},\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)で\(W_{1}=\left\{ \left(a,0\right);a\in\mathbb{R}\right\} ,W_{2}=\left\{ \left(b,b\right);b\in\mathbb{R}\right\} \)とすると、\(W_{1},W_{2}\)は部分空間となり、\(W_{1}\cap W_{2}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となるので\(W_{1}+W_{2}\)は直和となる。
しかし、\(\left(1,0\right)\in W_{1},\left(1,1\right)\in W_{2}\)であるが、\(\left\langle \left(1,0\right),\left(1,1\right)\right\rangle =1\cdot1+0\cdot1=1\ne0\)なので直交直和ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

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直交補空間が部分空間であることの証明
体\(K\)上で考える。
任意の\(\boldsymbol{y}\in W\)に対し、\(\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{y}\right\rangle =\boldsymbol{0}\)なので\(\boldsymbol{0}\in W^{\perp}\)となる。
\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in W^{\perp}\)のとき、任意の\(\boldsymbol{y}\in W\)に対し、\(\left\langle \boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}\right\rangle =0+0=0\)となるので\(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W^{\perp}\)となる。
\(c\in K,x\in W^{\perp}\)のとき、任意の\(\boldsymbol{y}\in W\)に対し、\(\left\langle c\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =c\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =c\cdot0=0\)となるので\(c\boldsymbol{x}\in W^{\perp}\)となる。
これらより、直交補空間は部分空間となる。