ケーリー・ハミルトンの定理
ケーリー・ハミルトンの定理
\(n\)次正方行列\(A\)があり固有多項式を\(p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right)\)とすると、固有値\(\lambda\)に行列\(A\)を代入すると\(p_{A}\left(A\right)=O\)となる。
これをケーリー・ハミルトンの定理という。
\(n\)次正方行列\(A\)があり固有多項式を\(p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right)\)とすると、固有値\(\lambda\)に行列\(A\)を代入すると\(p_{A}\left(A\right)=O\)となる。
これをケーリー・ハミルトンの定理という。
\(n=2\)のときは、
\[ A=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) \] とすると、
\[ A^{2}-\left(a+d\right)A+\left(ad-bc\right)I=0 \] となるので、
\[ A^{2}-\left(\tr A\right)A+\left(\det A\right)A=0 \] となる。
\[ p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right) \] に直接\(\lambda\rightarrow A\)として、
\begin{align*} p_{A}\left(A\right) & =\det\left(AI-A\right)\\ & =\det\left(A-A\right)\\ & =\det\left(O\right)\\ & =0 \end{align*} とするのは間違いです。
何故なら左辺は行列で右辺はスカラーだからである。
また、\(\det\left(\lambda I-A\right)\)の\(\lambda\)はスカラーでなくてはいけないのに行列である\(A\)を代入しているのが間違いである。
例えば\(n=2\)のとき、
\[ A=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) \] とすると、
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-a & -b\\ -c & \lambda-d \end{array}\right) \end{align*} となり、\(\lambda=A\)を代入すると
\begin{align*} p_{A}\left(A\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} A-a & -b\\ -c & A-d \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} A-aI_{2} & -bI_{2}\\ -cI_{2} & A-dI_{2} \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cccc} 0 & b & -b & 0\\ c & d-a & 0 & -b\\ -c & 0 & a-d & b\\ 0 & -c & c & 0 \end{array}\right)\\ & =0 \end{align*} とはできるが行列式の中身を比べると、
\[ AI-A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & b & -b & 0\\ c & d-a & 0 & -b\\ -c & 0 & a-d & b\\ 0 & -c & c & 0 \end{array}\right) \] となり明らかに異なる。
\begin{align*} p_{A}\left(A\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} A-a & -b\\ -c & A-d \end{array}\right)\\ & =\left(A-a\right)\left(A-d\right)-bc\\ & =A^{2}-\left(a+d\right)A+ad-bc \end{align*} とはできないからである。
もしこれが出来るとするとパーマネント
\[ \mathrm{perm}\left(A\right):=\sum_{\sigma\in S_{n}}\prod_{k=1}^{n}a_{k,\sigma\left(k\right)} \] を使い、\(q\left(\lambda\right)=\mathrm{perm}\left(\lambda I-A\right)\)とすると、\(q\left(A\right)=\mathrm{perm}\left(AI-A\right)=\mathrm{perm}\left(O\right)=0\)となるが,
\begin{align*} q\left(\lambda\right) & =\mathrm{perm}\left(\lambda I-A\right)\\ & =\mathrm{perm}\left(\begin{array}{cc} \lambda-A_{11} & -A_{12}\\ -A_{21} & \mathit{\lambda-A_{22}} \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-A_{11}\right)\left(\lambda-A_{22}\right)+\left(-A_{12}\right)\left(-A_{21}\right)\\ & =\lambda^{2}-\left(A_{11}+A_{22}\right)\lambda+\left(A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\right) \end{align*} なので、\(\lambda\)に\(A\)を代入すると、
\begin{align*} q\left(A\right) & =A^{2}-\left(A_{11}+A_{22}\right)A+\left(A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\right)I\\ & =\left(\begin{array}{cc} A_{11}A_{11}+A_{21}A_{12} & A_{11}A_{21}+A_{21}A_{22}\\ A_{12}A_{11}+A_{22}A_{12} & A_{12}A_{21}+A_{22}A_{22} \end{array}\right)-\left(A_{11}+A_{22}\right)\left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22} \end{array}\right)+\left(A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 2A_{12}A_{21} & 0\\ 0 & 2A_{12}A_{21} \end{array}\right) \end{align*} となるがこれは一般的には\(O\)にならない。
これからもわかるように\(\det\left(\lambda I-A\right)\)の\(\lambda\)に\(A\)を代入してケーリー・ハミルトンの定理を導出するのは間違いである。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) \] とすると、
\[ A^{2}-\left(a+d\right)A+\left(ad-bc\right)I=0 \] となるので、
\[ A^{2}-\left(\tr A\right)A+\left(\det A\right)A=0 \] となる。
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固有多項式\[ p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right) \] に直接\(\lambda\rightarrow A\)として、
\begin{align*} p_{A}\left(A\right) & =\det\left(AI-A\right)\\ & =\det\left(A-A\right)\\ & =\det\left(O\right)\\ & =0 \end{align*} とするのは間違いです。
何故なら左辺は行列で右辺はスカラーだからである。
また、\(\det\left(\lambda I-A\right)\)の\(\lambda\)はスカラーでなくてはいけないのに行列である\(A\)を代入しているのが間違いである。
例えば\(n=2\)のとき、
\[ A=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) \] とすると、
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-a & -b\\ -c & \lambda-d \end{array}\right) \end{align*} となり、\(\lambda=A\)を代入すると
\begin{align*} p_{A}\left(A\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} A-a & -b\\ -c & A-d \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} A-aI_{2} & -bI_{2}\\ -cI_{2} & A-dI_{2} \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cccc} 0 & b & -b & 0\\ c & d-a & 0 & -b\\ -c & 0 & a-d & b\\ 0 & -c & c & 0 \end{array}\right)\\ & =0 \end{align*} とはできるが行列式の中身を比べると、
\[ AI-A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & b & -b & 0\\ c & d-a & 0 & -b\\ -c & 0 & a-d & b\\ 0 & -c & c & 0 \end{array}\right) \] となり明らかに異なる。
\begin{align*} p_{A}\left(A\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} A-a & -b\\ -c & A-d \end{array}\right)\\ & =\left(A-a\right)\left(A-d\right)-bc\\ & =A^{2}-\left(a+d\right)A+ad-bc \end{align*} とはできないからである。
もしこれが出来るとするとパーマネント
\[ \mathrm{perm}\left(A\right):=\sum_{\sigma\in S_{n}}\prod_{k=1}^{n}a_{k,\sigma\left(k\right)} \] を使い、\(q\left(\lambda\right)=\mathrm{perm}\left(\lambda I-A\right)\)とすると、\(q\left(A\right)=\mathrm{perm}\left(AI-A\right)=\mathrm{perm}\left(O\right)=0\)となるが,
\begin{align*} q\left(\lambda\right) & =\mathrm{perm}\left(\lambda I-A\right)\\ & =\mathrm{perm}\left(\begin{array}{cc} \lambda-A_{11} & -A_{12}\\ -A_{21} & \mathit{\lambda-A_{22}} \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-A_{11}\right)\left(\lambda-A_{22}\right)+\left(-A_{12}\right)\left(-A_{21}\right)\\ & =\lambda^{2}-\left(A_{11}+A_{22}\right)\lambda+\left(A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\right) \end{align*} なので、\(\lambda\)に\(A\)を代入すると、
\begin{align*} q\left(A\right) & =A^{2}-\left(A_{11}+A_{22}\right)A+\left(A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\right)I\\ & =\left(\begin{array}{cc} A_{11}A_{11}+A_{21}A_{12} & A_{11}A_{21}+A_{21}A_{22}\\ A_{12}A_{11}+A_{22}A_{12} & A_{12}A_{21}+A_{22}A_{22} \end{array}\right)-\left(A_{11}+A_{22}\right)\left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22} \end{array}\right)+\left(A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 2A_{12}A_{21} & 0\\ 0 & 2A_{12}A_{21} \end{array}\right) \end{align*} となるがこれは一般的には\(O\)にならない。
これからもわかるように\(\det\left(\lambda I-A\right)\)の\(\lambda\)に\(A\)を代入してケーリー・ハミルトンの定理を導出するのは間違いである。
任意の\(n\)次正方行列\(A\)に対し、あるユニタリ行列\(U\)が存在し\(B=U^{-1}AU\)を上3角行列にできる。
\(A\)と\(B\)は相似なので固有方程式と固有値は同じになり、固有値は\(B\)の対角成分上にある。
これより、固有値を\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)とすると、\(A\)の固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)は、
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =p_{B}\left(\lambda\right)\\ & =\det\left(\lambda I-B\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & * & \cdots & *\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cccc} \lambda-\lambda_{1} & * & \cdots & *\\ 0 & \lambda-\lambda_{2} & \cdots & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda-\lambda_{n} \end{array}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(\lambda-\lambda_{k}\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\in\mathbb{C}^{n}\)を任意にとると、
\begin{align*} p_{B}\left(B\right)\boldsymbol{x} & =\left(\prod_{k=1}^{n}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =\left(\prod_{k=1}^{n-1}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{ccccc} * & * & \cdots & * & *\\ 0 & * & \cdots & * & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & * & *\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =\left(\prod_{k=1}^{n-1}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{c} *\\ *\\ \vdots\\ *\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\prod_{k=1}^{n-2}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{ccccc} * & * & \cdots & * & *\\ 0 & * & \cdots & * & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & * \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} *\\ *\\ \vdots\\ *\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\prod_{k=1}^{n-2}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\boldsymbol{0}_{n} \end{align*} となるので、
\[ p_{B}\left(B\right)=O \] となる。
これより、
\begin{align*} p_{A}\left(A\right) & =p_{A}\left(UBU^{-1}\right)\\ & =\left[p_{A}\left(\lambda\right)\right]_{\lambda\rightarrow UBU^{-1}}\\ & =\left[\prod_{k=1}^{n}\left(\lambda-\lambda_{k}\right)\right]_{\lambda\rightarrow UBU^{-1}}\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(UBU^{-1}-\lambda_{k}I\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(U\left(B-\lambda_{k}I\right)U^{-1}\right)\\ & =U\left(\prod_{k=1}^{n}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)U^{-1}\\ & =U\left[\prod_{k=1}^{n}\left(\lambda-\lambda_{k}\right)\right]_{\lambda\rightarrow B}U^{-1}\\ & =U\left[P_{B}\left(\lambda\right)\right]_{\lambda\rightarrow B}U^{-1}\\ & =UP_{B}\left(B\right)U^{-1}\\ & =UOU^{-1}\\ & =O \end{align*} となり、与式は成り立つ。
\(A\)と\(B\)は相似なので固有方程式と固有値は同じになり、固有値は\(B\)の対角成分上にある。
これより、固有値を\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)とすると、\(A\)の固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)は、
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =p_{B}\left(\lambda\right)\\ & =\det\left(\lambda I-B\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & * & \cdots & *\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cccc} \lambda-\lambda_{1} & * & \cdots & *\\ 0 & \lambda-\lambda_{2} & \cdots & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda-\lambda_{n} \end{array}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(\lambda-\lambda_{k}\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\in\mathbb{C}^{n}\)を任意にとると、
\begin{align*} p_{B}\left(B\right)\boldsymbol{x} & =\left(\prod_{k=1}^{n}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =\left(\prod_{k=1}^{n-1}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{ccccc} * & * & \cdots & * & *\\ 0 & * & \cdots & * & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & * & *\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =\left(\prod_{k=1}^{n-1}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{c} *\\ *\\ \vdots\\ *\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\prod_{k=1}^{n-2}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{ccccc} * & * & \cdots & * & *\\ 0 & * & \cdots & * & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & * \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} *\\ *\\ \vdots\\ *\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\prod_{k=1}^{n-2}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\boldsymbol{0}_{n} \end{align*} となるので、
\[ p_{B}\left(B\right)=O \] となる。
これより、
\begin{align*} p_{A}\left(A\right) & =p_{A}\left(UBU^{-1}\right)\\ & =\left[p_{A}\left(\lambda\right)\right]_{\lambda\rightarrow UBU^{-1}}\\ & =\left[\prod_{k=1}^{n}\left(\lambda-\lambda_{k}\right)\right]_{\lambda\rightarrow UBU^{-1}}\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(UBU^{-1}-\lambda_{k}I\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(U\left(B-\lambda_{k}I\right)U^{-1}\right)\\ & =U\left(\prod_{k=1}^{n}\left(B-\lambda_{k}I\right)\right)U^{-1}\\ & =U\left[\prod_{k=1}^{n}\left(\lambda-\lambda_{k}\right)\right]_{\lambda\rightarrow B}U^{-1}\\ & =U\left[P_{B}\left(\lambda\right)\right]_{\lambda\rightarrow B}U^{-1}\\ & =UP_{B}\left(B\right)U^{-1}\\ & =UOU^{-1}\\ & =O \end{align*} となり、与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ケーリー・ハミルトンの定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/div1r95y/ |
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正方行列は3角行列と相似
エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
\[
A=S+T
\]
正規行列の性質
正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化できることは同値である。
直交行列の性質
直交行列$A$の逆行列$A^{-1}$も直交行列になる。