正方行列は3角行列と相似
正方行列は3角行列と相似
正方行列\(A\)があるとき、あるユニタリ行列\(U\)が存在して
\[ B=U^{-1}AU \] を3角行列にできる。
これより、任意の正方行列は3角行列と相似である。
行列を3角行列にすることを行列の3角化という。
正方行列\(A\)があるとき、あるユニタリ行列\(U\)が存在して
\[ B=U^{-1}AU \] を3角行列にできる。
これより、任意の正方行列は3角行列と相似である。
行列を3角行列にすることを行列の3角化という。
対角化が不可能な行列はありますが、3角化は常に可能です。
例えば
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] の固有値は2重解である0のみであり、固有値0の固有空間は\(c\left(1,0\right)\)となる。
これより、1次独立な固有ベクトルを2つとれないので対角化することは不可能である。
しかし、\(A\)は既に上3角行列であるのでユニタリ行列として単位行列\(I_{2}\)をとれば3角化が可能である。
実際に\(A\)が対角化ができないことを示す。
\(A\)が対角化可能であると仮定する。
そうすると、ある\(2\times2\)正則行列\(P\)が存在し、\(P^{-1}AP\)が対角行列になる。
ここで、
\[ P=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} c & d\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc} cd & d^{2}\\ -c^{2} & -cd \end{array}\right) \end{align*} となるので、これが対角行列になるためには\(d=0,c=0\)となるが、このとき、\(ad-bc=0\)となり逆行列が存在しないので正則行列ではなく矛盾。
従って、\(A\)は対角化ができない。
例えば
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] の固有値は2重解である0のみであり、固有値0の固有空間は\(c\left(1,0\right)\)となる。
これより、1次独立な固有ベクトルを2つとれないので対角化することは不可能である。
しかし、\(A\)は既に上3角行列であるのでユニタリ行列として単位行列\(I_{2}\)をとれば3角化が可能である。
実際に\(A\)が対角化ができないことを示す。
\(A\)が対角化可能であると仮定する。
そうすると、ある\(2\times2\)正則行列\(P\)が存在し、\(P^{-1}AP\)が対角行列になる。
ここで、
\[ P=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} c & d\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc} cd & d^{2}\\ -c^{2} & -cd \end{array}\right) \end{align*} となるので、これが対角行列になるためには\(d=0,c=0\)となるが、このとき、\(ad-bc=0\)となり逆行列が存在しないので正則行列ではなく矛盾。
従って、\(A\)は対角化ができない。
\(n\)次正方行列\(A\)について考える。
また3角行列は上3角行列とする。
\(n=1\)の場合は\(U=I\)ととればいいので明らかに成り立つ。
\(n=k\)のとき成り立つと仮定する。
\(k+1\)次正方行列\(A_{k+1}\)の固有値を1つ選びそれを\(\lambda_{1}\in\mathbb{C}\)としてその固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}_{1}\in\mathbb{C}^{k+1}\)とする。
\(\boldsymbol{x}_{1}\)に\(\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\in\mathbb{C}^{k+1}\)を追加して\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\)が正規直交基底になるようにする。
このとき
\[ V_{k+1}=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\right) \] は\(k+1\)次ユニタリ行列となる。
そうすると、\(A_{k+1}\boldsymbol{x}_{1}=\lambda_{1}\boldsymbol{x}_{1}\)なので、ある\(k\)次正方行列\(A_{k}\)が存在し、
\begin{align*} A_{k+1}V_{k+1} & =A_{k+1}\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\right)\\ & =\left(A_{k+1}\boldsymbol{x}_{1},A_{k+1}\boldsymbol{x}_{2},\cdots,A_{k+1}\boldsymbol{x}_{k+1}\right)\\ & =\left(\lambda_{1}\boldsymbol{x}_{1},A_{k+1}\boldsymbol{x}_{2},\cdots,A_{k+1}\boldsymbol{x}_{k+1}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right)\\ & =V_{k+1}\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right) \end{align*} となり、両辺に左から\(V_{k+1}^{-1}\)を掛けると、
\[ V_{k+1}^{-1}A_{k+1}V_{k+1}=\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right) \] となる。
このとき仮定よりあるユニタリ行列\(W_{k}\)が存在して、\(B_{k}=W_{k}^{-1}A_{k}W_{k}\)は上3角行となり、
\[ W_{k+1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} W_{k+1}W_{k+1}^{*} & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)^{*}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k}^{*} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k}W_{k}^{*} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & I_{k} \end{array}\right)\\ & =I_{k+1} \end{align*} となるので、\(W_{k+1}\)もユニタリ行列となる。
これより、
\begin{align*} \left(V_{k+1}W_{k+1}\right)^{-1}A_{k+1}V_{k+1}W_{k+1} & =W_{k+1}^{-1}V_{k+1}^{-1}A_{k+1}V_{k+1}W_{k+1}\\ & =W_{k+1}^{-1}\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right)W_{k+1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k}^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k}^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k}W_{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & W_{k}^{-1}A_{k}W_{k} \end{array}\right) \end{align*} は\(W_{k}^{-1}A_{k}W_{k}\)が上3角行列なので全体も上3角行列となる。
従って、\(V_{k+1}W_{k+1}=U_{k+1}\)とおくと、\(V_{k+1},W_{k+1}\)は共にユニタリ行列なので\(U_{k+1}\)もユニタリ行列となり、\(U_{k+1}^{-1}A_{k+1}U_{k+1}\)は上3角行列となる。
故に数学的帰納法より、\(n\)次正方行列はユニタリ行列で上3角化できる。
下3角行列についても同様である。
また3角行列は上3角行列とする。
\(n=1\)の場合は\(U=I\)ととればいいので明らかに成り立つ。
\(n=k\)のとき成り立つと仮定する。
\(k+1\)次正方行列\(A_{k+1}\)の固有値を1つ選びそれを\(\lambda_{1}\in\mathbb{C}\)としてその固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}_{1}\in\mathbb{C}^{k+1}\)とする。
\(\boldsymbol{x}_{1}\)に\(\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\in\mathbb{C}^{k+1}\)を追加して\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\)が正規直交基底になるようにする。
このとき
\[ V_{k+1}=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\right) \] は\(k+1\)次ユニタリ行列となる。
そうすると、\(A_{k+1}\boldsymbol{x}_{1}=\lambda_{1}\boldsymbol{x}_{1}\)なので、ある\(k\)次正方行列\(A_{k}\)が存在し、
\begin{align*} A_{k+1}V_{k+1} & =A_{k+1}\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\right)\\ & =\left(A_{k+1}\boldsymbol{x}_{1},A_{k+1}\boldsymbol{x}_{2},\cdots,A_{k+1}\boldsymbol{x}_{k+1}\right)\\ & =\left(\lambda_{1}\boldsymbol{x}_{1},A_{k+1}\boldsymbol{x}_{2},\cdots,A_{k+1}\boldsymbol{x}_{k+1}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{k+1}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right)\\ & =V_{k+1}\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right) \end{align*} となり、両辺に左から\(V_{k+1}^{-1}\)を掛けると、
\[ V_{k+1}^{-1}A_{k+1}V_{k+1}=\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right) \] となる。
このとき仮定よりあるユニタリ行列\(W_{k}\)が存在して、\(B_{k}=W_{k}^{-1}A_{k}W_{k}\)は上3角行となり、
\[ W_{k+1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} W_{k+1}W_{k+1}^{*} & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)^{*}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k}^{*} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k}W_{k}^{*} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & I_{k} \end{array}\right)\\ & =I_{k+1} \end{align*} となるので、\(W_{k+1}\)もユニタリ行列となる。
これより、
\begin{align*} \left(V_{k+1}W_{k+1}\right)^{-1}A_{k+1}V_{k+1}W_{k+1} & =W_{k+1}^{-1}V_{k+1}^{-1}A_{k+1}V_{k+1}W_{k+1}\\ & =W_{k+1}^{-1}\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right)W_{k+1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k}^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & O\\ O & W_{k}^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & A_{k}W_{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & *\\ O & W_{k}^{-1}A_{k}W_{k} \end{array}\right) \end{align*} は\(W_{k}^{-1}A_{k}W_{k}\)が上3角行列なので全体も上3角行列となる。
従って、\(V_{k+1}W_{k+1}=U_{k+1}\)とおくと、\(V_{k+1},W_{k+1}\)は共にユニタリ行列なので\(U_{k+1}\)もユニタリ行列となり、\(U_{k+1}^{-1}A_{k+1}U_{k+1}\)は上3角行列となる。
故に数学的帰納法より、\(n\)次正方行列はユニタリ行列で上3角化できる。
下3角行列についても同様である。
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| タイトル | 正方行列は3角行列と相似 |
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ケーリー・ハミルトンの定理
\[
p_{A}\left(A\right)=O
\]
エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
\[
A=S+T
\]
正規行列の性質
正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化できることは同値である。
直交行列の性質
直交行列$A$の逆行列$A^{-1}$も直交行列になる。