エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
すなわち、
\[ A=S+T \] とできる。
表し方は一意的である。
すなわち、
\[ A=S+T \] とできる。
表し方は一意的である。
(1)対称行列・反対称行列
正方行列\(A\)は対称行列\(S\)と反対称行列\(T\)の和で表すことができる。すなわち、
\[ A=S+T \] とできる。
表し方は一意的である。
(2)エルミート行列・反エルミート行列
正方行列\(A\)はエルミート行列\(S\)と反エルミート行列\(T\)の和で表すことができる。すなわち、
\[ A=S+T \] とできる。
表し方は一意的である。
(1)
対称行列と反対称行列に分解\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{array}\right) & =\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{array}\right)^{T}\right)+\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{array}\right)^{T}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1 & 4\\ 2 & 3 \end{array}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 4\\ 2 & 3 \end{array}\right)\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 3 & 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 0 & -2\\ 2 & 0 \end{array}\right) \end{align*} 第1項が対称行列で第2項が反対称行列である。
(2)
エルミート行列と反エルミート行列に分解\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1+i & 2+i\\ 4+3i & 3 \end{array}\right) & =\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc} 1+i & 2+i\\ 4+3i & 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1+i & 2+i\\ 4+3i & 3 \end{array}\right)^{*}\right)+\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc} 1+i & 2+i\\ 4+3i & 3 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1+i & 2+i\\ 4+3i & 3 \end{array}\right)^{*}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc} 1+i & 2+i\\ 4+3i & 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1-i & 4-3i\\ 2-i & 3 \end{array}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc} 1+i & 2+i\\ 4+3i & 3 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1-i & 4-3i\\ 2-i & 3 \end{array}\right)\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 3-i\\ 3+i & 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} i & -1+2i\\ 1+2i & 0 \end{array}\right) \end{align*} 第1項がエルミート行列で第2項が反エルミート行列である。
(1)
\[ A=\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right) \] となり、\[ S=\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right) \] \[ T=\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right) \] とおくと、
\[ A=S+T \] となる。
このとき、\(S\)は対称行列で\(T\)は反対称行列なので題意は成り立つ。
一意的
\(S_{1}\ne S_{2}\)として\(S_{1},S_{2}\)を対称行列、\(T_{1}\ne T_{2}\)として\(T_{1},T_{2}\)を反対称行列として\(A=S_{1}+T_{1}=S_{2}+T_{2}\)と2通りの表し方があると仮定する。このとき、移項すると、\(S_{1}-S_{2}=T_{2}-T_{1}\)となり、左辺は対称行列で右辺は反対称行列となる。
これが成り立つには左辺と右辺が零行列になるときのみなので、\(S_{1}=S_{2},T_{1}=T_{2}\)となり2通りの表し方があるこという仮定に矛盾。
従って、表し方は一意的となる。
(2)
\[ A=\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{*}\right) \] となり、\[ S=\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right) \] \[ T=\frac{1}{2}\left(A-A^{*}\right) \] とおくと、
\[ A=S+T \] となる。
このとき、\(S\)はエルミート行列で\(T\)は反エルミート行列なので題意は成り立つ。
一意的
\(S_{1}\ne S_{2}\)として\(S_{1},S_{2}\)をエルミート行列、\(T_{1}\ne T_{2}\)として\(T_{1},T_{2}\)を反エルミート行列として\(A=S_{1}+T_{1}=S_{2}+T_{2}\)と2通りの表し方があると仮定する。このとき、移項すると、\(S_{1}-S_{2}=T_{2}-T_{1}\)となり、左辺はエルミート行列で右辺は反エルミート行列となる。
これが成り立つには左辺と右辺が零行列になるときのみなので、\(S_{1}=S_{2},T_{1}=T_{2}\)となり2通りの表し方があるこという仮定に矛盾。
従って、表し方は一意的となる。
ページ情報
| タイトル | エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/e6bqjg1a/ |
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射影行列
\[
P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}
\]
行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。