反対称行列の性質

by nomura · 2026年1月19日

反対称行列の性質
反対称行列について次が成り立つ。

(1)

反対称行列同士の和は反対称行列になる。

(2)

反対称行列$T$の転置$T^{T}$は元の行列のマイナス$-T$に等しい、すなわち$T^{T}=-T$となる。

(3)

$n$次反対称行列の独立な成分は$\frac{n\left(n-1\right)}{2}$個である。

(4)

実反対称行列ならば正規行列であるが、逆は一般的に成り立たない。

(5)

実反対称行列ならば反エルミート行列であるが、逆は一般的に成り立たない。

その他、次の性質がある。
$n$次反対称行列$T$の行列式は$\det\left(T\right)=\left(-1\right)^{n}\det\left(T\right)$を満たす。

(1)

$T_{1},T_{2}$を対称行列とする。
\begin{align*} \left(T_{1}+T_{2}\right)_{i,j} & =\left(-T_{1}^{T}-T_{2}^{T}\right)_{i,j}\\ & =-\left(\left(T_{1}+T_{2}\right)^{T}\right)_{i,j}\\ & =-\left(T_{1}+T_{2}\right)_{j,i} \end{align*} となるので、$T_{1}+T_{2}=-\left(T_{1}+T_{2}\right)^{T}$となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \left(T^{T}\right)_{i,j} & =\left(T\right)_{j,i}\\ & =\left(-T\right)_{i,j} \end{align*} となるので$T^{T}=-T$となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

$n$次反対称行列は$n\times n$行列であり、独立な成分の個数は区別出来る$n$個の中から重複を許さずに2個選ぶ場合の数なので$C\left(n,2\right)=\frac{n\left(n=1\right)}{2}$個となる。
従って題意は成り立つ。

(4)

$\Rightarrow$

実反対称行列$T$は$T^{T}=-T$かつ$T^{*}=T^{T}$を満たすので、
\[ TT^{*}-T^{*}T=TT^{T}-T^{T}T=-T^{2}+T^{2}=O \] となるので正規行列となる。
従って$\Rightarrow$が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & i\\ -i & 0 \end{array}\right) \] は正規行列であるが、実反対称行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(5)

$\Rightarrow$

実反対称行列$S$は$S^{T}=-S$かつ$S^{*}=S^{T}$を満たすので、$S^{*}=S^{T}=-S$となり反エルミート行列となる。
従って$\Rightarrow$が成り立つ。