(1)

\(T_{1},T_{2}\)を対称行列とする。
\begin{align*} \left(T_{1}+T_{2}\right)_{i,j} & =\left(-T_{1}^{T}-T_{2}^{T}\right)_{i,j}\\ & =-\left(\left(T_{1}+T_{2}\right)^{T}\right)_{i,j}\\ & =-\left(T_{1}+T_{2}\right)_{j,i} \end{align*} となるので、\(T_{1}+T_{2}=-\left(T_{1}+T_{2}\right)^{T}\)となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \left(T^{T}\right)_{i,j} & =\left(T\right)_{j,i}\\ & =\left(-T\right)_{i,j} \end{align*} となるので\(T^{T}=-T\)となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

\(n\)次反対称行列は\(n\times n\)行列であり、独立な成分の個数は区別出来る\(n\)個の中から重複を許さずに2個選ぶ場合の数なので\(C\left(n,2\right)=\frac{n\left(n=1\right)}{2}\)個となる。
従って題意は成り立つ。

(4)

\(\Rightarrow\)

実反対称行列\(T\)は\(T^{T}=-T\)かつ\(T^{*}=T^{T}\)を満たすので、
\[ TT^{*}-T^{*}T=TT^{T}-T^{T}T=-T^{2}+T^{2}=O \] となるので正規行列となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & i\\ -i & 0 \end{array}\right) \] は正規行列であるが、実反対称行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(5)

\(\Rightarrow\)

実反対称行列\(S\)は\(S^{T}=-S\)かつ\(S^{*}=S^{T}\)を満たすので、\(S^{*}=S^{T}=-S\)となり反エルミート行列となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & i\\ i & 0 \end{array}\right) \] は反エルミート行列であるが、実反対称行列ではない。
従って、逆は一般的に成り立たない。