(1)

\begin{align*} \left(\left(aA\right)^{T}\right)_{i,j} & =\left(aA\right)_{j,i}\\ & =a\left(A\right)_{j,i}\\ & =a\left(A^{T}\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ \left(aA\right)^{T}=aA^{T} \] となり与式は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \left(\left(A+B\right)^{T}\right)_{i,j} & =\left(A+B\right)_{j,i}\\ & =A_{j,i}+B_{j,i}\\ & =\left(A^{T}\right)_{i,j}+\left(B^{T}\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ \left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T} \] となり与式は成り立つ。

(3)

\begin{align*} \left(A^{TT}\right)_{i,j} & =\left(A^{T}\right)_{j,i}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ A^{TT}=A \] となり与式は成り立つ。

(4)

\(A\)を\(m\times n\)行列、\(B\)を\(n\times k\)行列とする。
\begin{align*} \left(\left(AB\right)^{T}\right)_{i,j} & =\left(AB\right)_{j,i}\\ & =\sum_{l=1}^{n}\left(A\right)_{j,l}\left(B\right)_{l,i}\\ & =\sum_{l=1}^{n}\left(B^{T}\right)_{i,l}\left(A^{T}\right)_{l,j}\\ & =\left(B^{T}A^{T}\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ \left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T} \] となり与式は成り立つ。

(5)

直交行列の定義より\(A^{T}=A^{-1}\)なので明らかに成り立つ。

(6)

対角行列は対称行列なので\(A^{T}=A\)となる。

(6)-2

\begin{align*} \left(A^{T}\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{j,i}\\ & =\left(A\right)_{j,i}\delta_{j,i}\\ & =\left(A\right)_{i,j}\delta_{j,i}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので、\(A^{T}=A\)となる。
従って題意は成り立つ。