(1)

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(A\odot B\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{i,j}\\ & =\left(B\right)_{i,j}\left(A\right)_{i,j}\\ & =\left(B\odot A\right)_{i,j} \end{align*} が成り立つので与式は成り立つ。

(2)

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(A\odot\left(B\odot C\right)\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{i,j}\left(B\odot C\right)_{i,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j}\left(\left(B\right)_{i,j}\left(C\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{i,j}\right)\left(C\right)_{i,j}\\ & =\left(A\odot B\right)_{i,j}\left(C\right)_{i,j}\\ & =\left(\left(A\odot B\right)\odot C\right)_{i,j} \end{align*} が成り立つので与式は成り立つ。

(3)

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(A\odot\left(B+C\right)\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{i,j}\left(B+C\right)_{i,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j}\left(\left(B\right)_{i,j}+\left(C\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{i,j}+\left(A\right)_{i,j}\left(C\right)_{i,j}\\ & =\left(A\odot B\right)_{i,j}+\left(A\odot C\right)_{i,j} \end{align*} が成り立つので与式は成り立つ。

(4)

\(m\times n\)行列で全ての成分が1となる行列\(J\)を\(\left(J\right)_{i,j}=1\)とおくと、任意の\(\left(i,j\right)\)成分について
\begin{align*} \left(A\odot J\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{i,j}\left(J\right)_{i,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j}1\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので、\(A\odot J=A\)となり題意は成り立つ。

(5)

\(m\times n\)行列\(A\)のアダマール積に関する逆行列が存在することと、\(A\)の成分に1つも0がないことは同値である。
また、アダマール積に関する逆行列は全ての成分を逆数にしたものである。

\(\Rightarrow\)

アダマール積に関する逆行列が存在するとき、行列の全ての成分の逆数が存在しないといけないので1つも0があってはいけない。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

行列の成分に1つも0がないとき、各成分の逆数をとればアダマール積に関する逆行列になる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

-

\(m\times n\)行列\(A\)があるとき、全ての成分を逆数にした行列を\(B\)とすると、
\[ \left(B\right)_{i,j}=\left(\left(A\right)_{i,j}\right)^{-1} \] なので、
\begin{align*} \left(A\odot B\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{i,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j}\left(\left(A\right)_{i,j}\right)^{-1}\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} \left(B\odot A\right)_{i,j} & =\left(B\right)_{i,j}\left(A\right)_{i,j}\\ & =\left(\left(A\right)_{i,j}\right)^{-1}\left(A\right)_{i,j}\\ & =1 \end{align*} となるので、全ての成分を逆数にした行列はアダマール積に関する逆行列となる。
従って題意は成り立つ。

(6)

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について
\begin{align*} \left(\left(A\odot B\right)^{T}\right)_{i,j} & =\left(A\odot B\right)_{j,i}\\ & =\left(A\right)_{j,i}\left(B\right)_{j,i}\\ & =\left(A^{T}\right)_{i,j}\left(B^{T}\right)_{i,j}\\ & =\left(A^{T}\odot B^{T}\right)_{i,j} \end{align*} となるので、\(\left(A\odot B\right)^{T}=A^{T}\odot B^{T}\)となり題意は成り立つ。

(7)

\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\left(A\odot B\right)_{i,j} & =\sum_{i=1}^{n}\left(\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{i,j}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(\left(A^{T}\right)_{j,i}\left(B\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(A^{T}B\right)_{j,j}\\ & =\left(B^{T}A\right)_{j,j} \end{align*} \begin{align*} \sum_{j=1}^{n}\left(A\odot B\right)_{i,j} & =\sum_{j=1}^{n}\left(\left(A\odot B\right)^{T}\right)_{j,i}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(A^{T}\odot B^{T}\right)_{j,i}\\ & =\left(A^{TT}B^{T}\right)_{i,i}\\ & =\left(AB^{T}\right)_{i,i}\\ & =\left(BA^{T}\right)_{i,i} \end{align*} となるので題意は成り立つ。