(1)

\(A,B,C\in K^{m\times n};a,b\in K\)とする。

(a)加法の結合律

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(A+\left(B+C\right)\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{i,j}+\left(B+C\right)_{i,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j}+\left(B\right)_{i,j}+\left(C\right)_{i,j}\\ & =\left(A+B\right)_{i,j}+\left(C\right)_{i,j}\\ & =\left(\left(A+B\right)+C\right)_{i,j} \end{align*} となるので、
\[ A+\left(B+C\right)=\left(A+B\right)+C \] が成り立つ。

(b)加法の可換律

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(A+B\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{i,j}+\left(B\right)_{i,j}\\ & =\left(B\right)_{i,j}+\left(A\right)_{i,j}\\ & =\left(B+A\right)_{i,j} \end{align*} となるので、
\[ A+B=B+A \] が成り立つ。

(c)加法単位元

\(m\times n\)行列の零行列\(O\)は任意の\(A\in M_{m\times n}\left(K\right)\)に対し、\(A+O+A\)となるので加法単位元が存在する。

(d)加法逆元

任意の\(A\in M_{m\times n}\left(K\right)\)に対し、\(-A\)は\(A+\left(-A\right)=A-A=O\)となるので、加法逆元が存在する。

(e)ベクトルの分配率

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(a\left(A+B\right)\right)_{i,j} & =a\left(\left(A\right)_{i,j}+\left(B\right)_{i,j}\right)\\ & =a\left(A\right)_{i,j}+a\left(B\right)_{i,j} \end{align*} となるので、
\[ a\left(A+B\right)=aA+aB \] が成り立つ。

(f)体の分配率

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(\left(a+b\right)A\right)_{i,j} & =\left(a+b\right)\left(A\right)_{i,j}\\ & =a\left(A\right)_{i,j}+b\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので、
\[ \left(a+b\right)A=aA+bA \] が成り立つ。

(g)体とベクトルの結合律

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(a\left(bA\right)\right)_{i,j} & =a\left(b\left(A\right)_{i,j}\right)\\ & =ab\left(A\right)_{i,j}\\ & =\left(ab\right)\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので、
\[ a\left(bA\right)=\left(ab\right)A \] が成り立つ。

(h)スカラー単位元

任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(1A\right)_{i,j} & =1\left(A\right)_{i,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので、
\[ 1A=A \] が成り立つ。
これらより、ベクトル空間であるための条件を満たすので、加法とスカラー倍に関して\(M_{m\times n}\left(K\right)\)はベクトル空間になる。

(2)

積\(AB\)が計算出来るのでは\(A\)が\(l\times m\)行列で\(B\)が\(m\times n\)行列のときで\(AB\)は\(l\times n\)行列となる。
同様に積\(BA\)が計算出来るのでは\(B\)が\(p\times q\)行列で\(A\)が\(q\times r\)行列のときで\(BA\)は\(p\times r\)行列となる。
行列\(A\)については\(l=q\land m=r\)で行列\(B\)については\(m=p\land n=q\)であり、\(AB,BA\)が同じサイズになるのは、\(l=p\land n=r\)のときである。
これより、\(m=r=n=q=l=p\)となるので、\(A\)は\(l\times m\rightarrow l\times l\)行列、\(B\)は\(m\times n\rightarrow l\times l\)行列、\(AB\)は\(l\times n\rightarrow l\times l\)行列、\(BA\)は\(p\times r\rightarrow l\times l\)行列となる。
従って、\(AB,BA\)が同じサイズになるのは\(A,B\)が共に同じサイズの正方行列のときのみである。

一般的に\(AB=BA\)は成り立たない

一般的に\(AB=BA\)は成り立たないことの証明
反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] とすると、
\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} となるので\(AB\ne BA\)である。
従って、一般的に\(AB=BA\)は成り立たない。

(3)

\(A\)は\(m\times n\)行列なので、任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(I_{m}A\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{m}\delta_{i,k}\left(A\right)_{k,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ I_{m}A=A \] となる。
同様に、任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(AI_{n}\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\delta_{k,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ AI_{n}=A \] となる。
\(n\)次正方行列\(A\)に単位行列\(I_{n}\)を右から掛けても左からかけても\(I_{n}A=AI_{n}=A\)となる。

-

\(A\)を\(n\)次正方行列とすると、
任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(I_{n}A\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{n}\delta_{i,k}\left(A\right)_{k,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ AI_{n}=A \] となる。
同様に、任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(AI_{n}\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{i,k}\delta_{k,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ I_{n}A=A \] となる。
従って、\(I_{n}A=AI_{n}=A\)となるので題意は成り立つ。

(4)

\(A\)を\(m\times n\)行列とする。
任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(A+O_{m,n}\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{i,j}+\left(O_{m,n}\right)_{i,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} \begin{align*} \left(O_{m,n}+A\right)_{i,j} & =\left(O_{m,n}\right)_{i,j}+\left(A\right)_{i,j}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となる。
従って、\(A+O_{m,n}=O_{m,n}+A=A\)となる。

-

\(A\)を\(m\times n\)行列とする。
任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(O_{l,m}A\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{m}\left(O_{l.m}\right)_{i,k}\left(A\right)_{k,j}\\ & =\sum_{k=1}^{m}0\left(A\right)_{k,j}\\ & =0\\ & =\left(O_{l,n}\right)_{i,j} \end{align*} となる。
従って\(O_{l,m}A=O_{l,n}\)となる。
同様に、任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(AO_{n,l}\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{i,k}\left(O_{n,l}\right)_{k,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{i,k}0\\ & =0\\ & =\left(O_{m,l}\right)_{i,j} \end{align*} となる。
従って\(AO_{n,l}=O_{m,l}\)となる。

-

\(A\)を\(n\)次正方行列とする。
任意の\(\left(i,j\right)\)成分について、
\begin{align*} \left(O_{n}A\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{n}\left(O_{n}\right)_{i,k}\left(A\right)_{k,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}0\left(A\right)_{k,j}\\ & =0\\ & =\left(O_{n}\right)_{i,j} \end{align*} \begin{align*} \left(AO_{n}\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{i,k}\left(O_{n}\right)_{k,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{k,j}0\\ & =0\\ & =\left(O_{n}\right)_{i,j} \end{align*} となる。
従って、\(O_{n}A=AO_{n}=O_{n}\)となる。

(5)

行列は\(AB=O\)であっても\(A=O\lor B=O\)とは限らないことの証明
反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] とすると、
\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =O \end{align*} となるが、\(A\ne O\land B\ne O\)である。
従って、\(AB=O\)であっても\(A=O\lor B=O\)とは限らない。

-

\(AB=O\land A\ne O\land B\ne O\land A=B\)のとき、\(A^{2}=O\)となるのでべき零行列となる。
例えば、
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] とすると\(A\ne O\)であるが\(A^{2}=O\)となる。

(6)

\(\Rightarrow\)

対偶で示す。
すなわち、\(A\)がスカラー行列でないならば、ある\(n\)次正方行列が存在し可換でないことを示す。
\(A\)がスカラー行列でない、かつ、任意の\(n\)次正方行列と可換であると仮定する。
このとき、行列\(B_{p,q}\)を\(\left(p,q\right)\)成分が1でその他は0であるとする。
そうすると、
\begin{align*} \left(AB_{p,q}\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{i,k}\left(B_{p,q}\right)_{k,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{i,k}\delta_{p,k}\delta_{q,j}\\ & =\left(A\right)_{i,p}\delta_{q,j} \end{align*} \begin{align*} \left(B_{p,q}A\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{n}\left(B_{p,q}\right)_{i,k}\left(A\right)_{k,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\delta_{p,i}\delta_{q,k}\left(A\right)_{k,j}\\ & =\delta_{p,i}\left(A\right)_{q,j} \end{align*} となるので、\(A,B_{p,q}\)が可換であるためには
\[ \left(A\right)_{i,p}\delta_{q,j}=\delta_{p,i}\left(A\right)_{q,j} \] となり、任意の\(p,q\)に対し成り立つので、\(i\ne p,j=q\)ととると、\(\left(A\right)_{i,p}=0\)となり、\(i=p,j=q\)ととると、\(\left(A\right)_{i,i}=\left(A\right)_{j,j}\)となる。
これより、\(A\)は非対角成分は0となり対角成分は全て同じ値になるので、\(\lambda\)をスカラーとすると\(A=\lambda I\)となりスカラー行列となり、\(A\)はスカラー行列でないという仮定に矛盾。
従って、背理法より、\(A\)がスカラー行列でないならば、ある\(n\)次正方行列が存在し可換でないことが示され対偶が示されたので、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A\)がスカラー行列であるならば\(A=\lambda I\)と表されるので、任意の\(n\)次正方行列\(B\)に対し、
\begin{align*} AB & =\lambda IB\\ & =\lambda B\\ & =B\lambda\\ & =BI\lambda\\ & =B\lambda I\\ & =BA \end{align*} となるので可換である。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(7)

任意の\(\boldsymbol{x}\)に対し、\(\left(DE\right)\boldsymbol{x}=C\left(E\boldsymbol{x}\right)\)が成り立つので、
\begin{align*} \left(\left(AB\right)C\right)\boldsymbol{x} & =\left(AB\right)\left(C\boldsymbol{x}\right)\\ & =A\left(B\left(C\boldsymbol{x}\right)\right)\\ & =A\left(\left(BC\right)\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(A\left(BC\right)\right)\boldsymbol{x} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)について恒等的に成り立つには
\[ \left(AB\right)C=\left(A\left(BC\right)\right) \] となる。
従って結合律が成り立つ。

(8)

任意の\(\boldsymbol{x}\)に対し、\(\left(DE\right)\boldsymbol{x}=C\left(E\boldsymbol{x}\right)\)が成り立つので、
\begin{align*} \left(A\left(B+C\right)\right)\boldsymbol{x} & =A\left(\left(B+C\right)\boldsymbol{x}\right)\\ & =A\left(B\boldsymbol{x}+C\boldsymbol{x}\right)\\ & =A\left(B\boldsymbol{x}\right)+A\left(C\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(AB\right)\boldsymbol{x}+\left(AC\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(AB+AC\right)\boldsymbol{x} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)について恒等的に成り立つには、\(A\left(B+C\right)=AB+AC\)となり左分配律を満たす。
右分配律についても同様である。
従って題意は成り立つ。