(1)

\begin{align*} \frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|} & =\frac{\left|ARC\right|}{\left|CRB\right|}\cdot\frac{\left|BPA\right|}{\left|APC\right|}\cdot\frac{\left|CQB\right|}{\left|BQA\right|}\\ & =\frac{\left|AOC\right|}{\left|COB\right|}\cdot\frac{\left|BOA\right|}{\left|AOC\right|}\cdot\frac{\left|COB\right|}{\left|BOA\right|}\\ & =1 \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(2)

3角形\(ABC\)の辺上に点\(P,Q,R\)が1個または3個あるので点\(Q\)が辺\(CA\)上にあるとする。
このとき、\(P,R\)は共に辺\(BC,BA\)上にあるか共に辺\(BC,BA\)上ではない直線\(BC,BA\)上にあるかになる。
ここで直線\(AP,CR\)の交点があるときはその交点を\(O\)として直線\(BO\)と直線\(CA\)との交点を\(Q'\)とすると、点\(P,R\)の位置から点\(Q'\)は辺\(AC\)上にあることになる。
このとき、点\(P,Q',R\)についてチェバの定理が使えるので、
\[ \frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ'\right|}{\left|Q'A\right|}=1 \] が成り立ち、条件から
\[ \frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=1 \] なので、
\[ \frac{\left|CQ'\right|}{\left|Q'A\right|}=\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|} \] となる。
\(Q,Q'\)は共に辺\(CA\)上の点だったので、同じ位置となる。
また、直線\(AP,CR\)の交点がないときは、直線\(AP,CR\)は平行となり、\(\triangle APB\sim\triangle RCB\)となるので、
\begin{align*} 1 & =\frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}\\ & =\frac{\left|AB\right|+\left|BR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}\\ & =\left(\frac{\left|AB\right|}{\left|RB\right|}+1\right)\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}\\ & =\left(\frac{\left|PB\right|}{\left|CB\right|}+1\right)\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}\\ & =\left(\frac{\left|PB\right|+\left|CB\right|}{\left|CB\right|}\right)\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}\\ & =\frac{\left|PC\right|}{\left|CB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}\\ & =\frac{\left|BP\right|}{\left|CB\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|} \end{align*} となるので
\[ \frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=\frac{\left|CB\right|}{\left|BP\right|} \] となり、直線\(AP\)と直線\(BQ\)は平行になる。
従って、直線\(AP,CR\)の交点がないときは3直線\(AP,CR,BQ\)は平行となる。
これらより、直線\(AP,BQ,CR\)は1点で交わるか平行となるので題意は成り立つ。

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\[ \frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=1 \] は満たすが3直線が1点で交わらないときの例は次のようになる。

(3)

直線\(PR\)を平行移動して\(C\)を通る直線をとり、\(AB\)との交点を\(R'\)とする。
そうすると、\(\triangle BPR\sim\triangle BCR'\)であり、\(\triangle ARQ\sim\triangle AR'C\)でもあるので、
\[ \frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}=\frac{\left|BR\right|}{\left|RR'\right|} \] \[ \frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=\frac{\left|R'R\right|}{\left|RA\right|} \] \begin{align*} \frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|} & =\frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BR\right|}{\left|RR'\right|}\cdot\frac{\left|R'R\right|}{\left|RA\right|}\\ & =1 \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(4)

3角形\(ABC\)の辺上に点\(P,Q,R\)が0個または2個あるので点\(Q,R\)が辺\(AB,CA\)上にあるとする。
このとき点\(P\)は辺\(BC\)上ではない直線\(BC\)上にある。
直線\(QR\)と直線\(BC\)との交点を\(P'\)とすると点\(P',Q,R\)は1直線上にあるのでメネラウスの定理が使え、
\[ \frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP'\right|}{\left|P'C\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=1 \] となり、条件から点\(P,Q,R\)についても
\[ \frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=1 \] が成り立っている。
これより、
\[ \frac{\left|BP'\right|}{\left|P'C\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|} \] となり、点\(P,P'\) はどちらも辺\(BC\)上ではない直線\(BC\)上にあるので同じ位置にある点となる。
従って\(P',Q,R\)は1直線上にあるので\(P,Q,R\)も1直線上にある。
また、3角形\(ABC\)の辺上に点\(P,Q,R\)が0個あるときも同様である。
従って、題意は成り立つ。

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3角形\(ABC\)の辺上に1個または3個あるとき、チェバの定理になり直線\(AP,BQ,CR\)は1点で交わる。