直交曲線座標での単位基底ベクトルの回転・発散
直交曲線座標での単位基底ベクトルの回転・発散
直交曲線座標\(q_{i}\)での単位基底ベクトル\(\boldsymbol{u}_{i}\)の回転と発散は以下のように表される。
\(h_{k}\)はスケール因子で\(h=\prod_{i}h_{i}\)とする。
直交曲線座標\(q_{i}\)での単位基底ベクトル\(\boldsymbol{u}_{i}\)の回転と発散は以下のように表される。
\(h_{k}\)はスケール因子で\(h=\prod_{i}h_{i}\)とする。
(1)回転
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}_{i} & =-\boldsymbol{u}_{i}\times\frac{1}{h_{i}}\boldsymbol{\nabla}h_{i}\\ & =-\frac{1}{h_{i}}\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}\boldsymbol{u}_{k}\frac{\partial}{h_{j}\partial q_{j}}h_{i} \end{align*}(2)発散
\[ \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{hh_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i} \]極座標で原点\(\left(0,0,0\right)\)以外では、
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{e}_{\theta} & =-\boldsymbol{e}_{\theta}\times\frac{1}{h_{\theta}}\boldsymbol{\nabla}h_{\theta}\\ & =-\boldsymbol{e}_{\theta}\times\frac{1}{r}\left(\boldsymbol{e}_{r}\frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{e}_{\theta}\frac{\partial}{r\partial\theta}+\boldsymbol{e}_{\phi}\frac{\partial}{r\sin\theta\partial\phi}\right)r\\ & =-\boldsymbol{e}_{\theta}\times\frac{1}{r}\boldsymbol{e}_{r}\\ & =\frac{1}{r}\boldsymbol{e}_{\phi} \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{e}_{r} & =\frac{1}{hh_{r}}\frac{\partial}{\partial r}h-\frac{1}{h_{r}^{2}}\frac{\partial}{\partial r}h_{r}\\ & =\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\sin\theta\right)-\frac{1}{1}\frac{\partial}{\partial r}1\\ & =\frac{2}{r} \end{align*} となる。
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{e}_{\theta} & =-\boldsymbol{e}_{\theta}\times\frac{1}{h_{\theta}}\boldsymbol{\nabla}h_{\theta}\\ & =-\boldsymbol{e}_{\theta}\times\frac{1}{r}\left(\boldsymbol{e}_{r}\frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{e}_{\theta}\frac{\partial}{r\partial\theta}+\boldsymbol{e}_{\phi}\frac{\partial}{r\sin\theta\partial\phi}\right)r\\ & =-\boldsymbol{e}_{\theta}\times\frac{1}{r}\boldsymbol{e}_{r}\\ & =\frac{1}{r}\boldsymbol{e}_{\phi} \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{e}_{r} & =\frac{1}{hh_{r}}\frac{\partial}{\partial r}h-\frac{1}{h_{r}^{2}}\frac{\partial}{\partial r}h_{r}\\ & =\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\sin\theta\right)-\frac{1}{1}\frac{\partial}{\partial r}1\\ & =\frac{2}{r} \end{align*} となる。
(1)
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}_{i} & =\frac{h_{i}}{h_{i}}\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}_{i}\right)\\ & =h_{i}\left(\boldsymbol{\nabla}\times\frac{\boldsymbol{u}_{i}}{h_{i}}+\boldsymbol{u}_{i}\times\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{h_{i}}\right)\\ & =h_{i}\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}q_{i}-\boldsymbol{u}_{i}\times\frac{1}{h_{i}^{2}}\boldsymbol{\nabla}h_{i}\right)\\ & =-\boldsymbol{u}_{i}\times\frac{1}{h_{i}}\boldsymbol{\nabla}h_{i} \end{align*} 更に計算を進めると、\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}_{i} & =-\boldsymbol{u}_{i}\times\frac{1}{h_{i}}\boldsymbol{\nabla}h_{i}\\ & =-\boldsymbol{u}_{i}\times\frac{1}{h_{i}}\sum_{j}\boldsymbol{u}_{j}\frac{\partial}{h_{j}\partial q_{j}}h_{i}\\ & =-\frac{1}{h_{i}}\sum_{j}\boldsymbol{u}_{i}\times\boldsymbol{u}_{j}\frac{\partial}{h_{j}\partial q_{j}}h_{i}\\ & =-\frac{1}{h_{i}}\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}\boldsymbol{u}_{k}\frac{\partial}{h_{j}\partial q_{j}}h_{i} \end{align*} となる。
(2)
\begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}_{i} & =\frac{1}{2}\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\boldsymbol{u}_{j}\times\boldsymbol{u}_{k}\right)\\ & =\frac{1}{2}\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{u}_{k}\cdot\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}_{j}\right)-\boldsymbol{u}_{j}\cdot\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}_{k}\right)\right)\\ & =\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{u}_{k}\cdot\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}_{j}\right)\right)\\ & =\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{u}_{k}\cdot\left(-\boldsymbol{u}_{j}\times\frac{1}{h_{j}}\boldsymbol{\nabla}h_{j}\right)\right)\cmt{\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}_{i}=-\boldsymbol{u}_{i}\times\frac{1}{h_{i}}\boldsymbol{\nabla}h_{i}}\\ & =-\sum_{j,k.l}\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{u}_{k}\cdot\left(\frac{\boldsymbol{u}_{j}}{h_{j}}\times\frac{\boldsymbol{u}_{l}}{h_{l}}\frac{\partial}{\partial q_{l}}h_{j}\right)\right)\\ & =-\sum_{j,k.l,m}\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{u}_{k}\cdot\left(\epsilon_{jlm}\boldsymbol{u}_{m}\frac{1}{h_{j}h_{l}}\frac{\partial}{\partial q_{l}}h_{j}\right)\right)\\ & =-\sum_{j,k.l,m}\epsilon_{ijk}\delta_{mk}\epsilon_{jlm}\frac{1}{h_{j}h_{l}}\frac{\partial}{\partial q_{l}}h_{j}\\ & =\sum_{j,k,l}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ljk}\frac{1}{h_{j}h_{l}}\frac{\partial}{\partial q_{l}}h_{j}\\ & =\sum_{j,l}\left(\delta_{il}\delta_{jj}-\delta_{ij}\delta_{jl}\right)\frac{1}{h_{j}h_{l}}\frac{\partial}{\partial q_{l}}h_{j}\\ & =\sum_{j}\left(\delta_{jj}\frac{1}{h_{j}h_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{j}-\delta_{ij}\frac{1}{h_{j}h_{j}}\frac{\partial}{\partial q_{j}}h_{j}\right)\\ & =\sum_{j}\frac{1}{h_{j}h_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{j}-\frac{1}{h_{i}h_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i}\\ & =\sum_{j}\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\log h_{j}-\frac{1}{h_{i}h_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i}\\ & =\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\log h-\frac{1}{h_{i}h_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i}\\ & =\frac{1}{hh_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 直交曲線座標での単位基底ベクトルの回転・発散 |
| URL | https://www.nomuramath.com/mudqflv4/ |
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アインシュタインの和の既約
ストークスの定理とガウスの発散定理
\[
\iiint_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}dV=\iint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}
\]
直交曲線座標での性質
\[
h_{i}\boldsymbol{\nabla}q_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}
\]
直交曲線座標でのナブラ演算子・回転・発散・ラプラシアン
\[
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}=\frac{1}{h}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{A_{i}h}{h_{i}}
\]