一様コーシー列・一様収束列の定義と性質

by nomura · 2024年4月9日

一様コーシー列・一様収束列の定義と性質

一様コーシー列・一様収束列の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとする。

(1)一様コーシー列

写像列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in X;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon \] つまり、
\[ \lim_{m,n\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)=0 \] となるとき、写像列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)を一様コーシー列という。

(2)一様収束列

写像列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があり、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in X,N\leq k\rightarrow d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)<\epsilon \] つまり、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0 \] となるとき、写像列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が写像\(f\left(x\right)\)に一様収束するといい、\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)を一様収束列という。
また、この\(f\left(x\right)\)を写像列\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)の一様収束先という。

一様コーシー列・一様収束列の性質

(1)

写像列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が\(f\left(x\right)\)に一様収束するならば、写像列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(f\left(x\right)\)に各点収束する。
逆は一般的に成り立たない。

(2)

一様収束列の一様収束先は一意的に決まる。

(3)

一様収束列ならば一様コーシー列となる。
逆は一般的に成り立たない。

(1)

ノルム空間では関数列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)がコーシー列であるとき、
\[ \sup_{x\in X}\left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|=\left\Vert f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right\Vert _{\infty} \] なので、
\begin{align*} \lim_{m,n\rightarrow\infty}\left\Vert f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right\Vert _{\infty} & =\lim_{m,n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)\\ & =0 \end{align*} となります。

(2)

一様コーシー列の論理記号での表現と\(\lim\)を使った表現
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in X;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon\Leftrightarrow\lim_{m,n\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)=0 \] の同値性と、一様収束列の論理記号での表現と\(\lim\)を使った表現
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};\forall x\in X,N\leq k\rightarrow d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)<\epsilon\Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0 \] の同値性を示す。
これは、
\begin{align*} & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in X;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};\left(N\leq m,n\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon\right)\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};\left(N\leq m,n\right)\rightarrow\sup_{x\in X}d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \lim_{m,n\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)=0 \end{align*} より、一様コーシー列の同値性が示され、
\begin{align*} & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};\forall x\in I,N\leq k\rightarrow d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};N\leq k\rightarrow\forall x\in X,d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0 \end{align*} より、一様収束列の同値性が示される。

(3)

\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)=f\left(x\right) & \Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\\ & \Leftarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0 \end{align*} が成り立つ。
これを示す。　
\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)=f\left(x\right)\)の定義は\(\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)なので\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)=f\left(x\right)\Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)は明らかに成り立つ。
次に\(\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)を示す。
\(\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)であることと、任意の正数\(\epsilon>0\)についてある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq k\)ならば\(\sup_{x\in I}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)<\epsilon\)となることは同値である。
このとき、
\begin{align*} \epsilon & >\sup_{x\in I}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)\\ & =d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right) \end{align*} であるので、任意の正数\(\epsilon>0\)についてある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq k\)ならば\(d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)<\epsilon\)となる。
これは\(\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)と同値である。
従って、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)ならば\(\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)が成り立つ。
また、\(\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)は一般的に成り立たない。
反例で示す。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常距離を入れた距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)で、\(f_{k}\left(x\right)=\delta_{k,x}\)とすると、\(f\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\delta_{k,x}=0\)となり、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\delta_{k,x}-0\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\delta_{k,x}\\ & =0 \end{align*} となるが、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left|\delta_{k,x}-0\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\delta_{k,x}\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1\\ & =1\\ & \ne0 \end{align*} となるので、\(\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0\)は一般的に成り立たない。

\(x\in\mathbb{R}\)として\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)とする。
このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、自然数\(N\in\mathbb{N}\)を\(\frac{1}{\epsilon}\leq N\)となるようにとなる。
\(N\leq m,n\)のとき、
\begin{align*} \left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right| & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right|\\ & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\left(-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right)\right|\\ & =\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\\ & =\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\\ & \leq\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{2}}\\ & =\frac{2}{N^{2}}\\ & \leq\frac{2}{N}\\ & \leq2\epsilon \end{align*} となるので、\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)は一様コーシー列になる。

(1)

\(\Rightarrow\)

写像列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が\(f\left(x\right)\)に一様収束するとき、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0 \] となる。
このとき、任意の\(x_{0}\in X\)について、
\[ d\left(f_{k}\left(x_{0}\right),f\left(x_{0}\right)\right)\leq\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right) \] となるので、\(k\rightarrow\infty\)とすると、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x_{0}\right),f\left(x_{0}\right)\right) & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)\\ & =0 \end{align*} となり、距離の非負性より、\(\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x_{0}\right),f\left(x_{0}\right)\right)=0\)となる。
従って、任意の\(x_{0}\in X\)について、\(\lim_{k\rightarrow\infty}d\left(f_{k}\left(x_{0}\right),f\left(x_{0}\right)\right)=0\)となるので\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)\)となり、各点収束する。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
写像列\(\left(f_{k}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Q},x\mapsto\sum_{j=1}^{k}\left(-1\right)^{j+1}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)とすると、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^{k}\left(-1\right)^{j+1}=\log2\)に各点収束する。
ここで、一様収束先\(y\)が存在すると仮定する。
また、一様収束先\(y\)が\(y\ne\log2\)となると仮定する。
そうすると、\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)の一様収束先が\(y\)であるが一様収束先が存在するならば収束先\(\log2\)と同一になるが、\(\log2\ne y\)であるので矛盾。
従って、背理法より、一様収束先は\(\log2\)となる。
しかし、\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Q},x\mapsto\log2\notin\mathbb{Q}\)となるので矛盾。
従って背理法より、一様収束先は存在しない。
これより、写像列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(f\left(x\right)\)に各点収束しても\(f\left(x\right)\)に一様収束するとは限らない。

-

これらより題意は成り立つ。

(2)

関数列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)を一様収束列として、\(g\ne h\)となる関数\(g:X\rightarrow Y\)と\(h:X\rightarrow Y\)に一様収束するとする。
このとき、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left|f_{k}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|=0 \] \[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left|f_{k}\left(x\right)-h\left(x\right)\right|=0 \] となる。
これより、
\begin{align*} \sup_{x\in X}\left|g\left(x\right)-h\left(x\right)\right| & \leq\sup_{x\in X}\left(\left|g\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|+\left|f_{k}\left(x\right)-h\left(x\right)\right|\right)\\ & \leq\sup_{x\in X}\left|g\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|+\sup_{x\in X}\left|f_{k}\left(x\right)-h\left(x\right)\right| \end{align*} となるので、\(k\rightarrow\infty\)とすると、
\begin{align*} \sup_{x\in X}\left|g\left(x\right)-h\left(x\right)\right| & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\sup_{x\in X}\left|g\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|+\sup_{x\in X}\left|f_{k}\left(x\right)-h\left(x\right)\right|\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left|g\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left|f_{k}\left(x\right)-h\left(x\right)\right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left|f_{k}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left|f_{k}\left(x\right)-h\left(x\right)\right|\\ & =0+0\\ & =0 \end{align*} となり、絶対値の非負性より、\(\sup_{x\in X}\left|g\left(x\right)-h\left(x\right)\right|=0\)となり、これより、
\begin{align*} \sup_{x\in X}\left|g\left(x\right)-h\left(x\right)\right|=0 & \Rightarrow\forall x\in X,\left|g\left(x\right)-h\left(x\right)\right|=0\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,g\left(x\right)-h\left(x\right)=0\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,g\left(x\right)=h\left(x\right) \end{align*} となり\(g=h\)となるが\(g\ne h\)としているので矛盾。
従って背理法より、一様収束列は存在しても一意的に決まる。

(3)

\(\Rightarrow\)

関数列\(\left(f_{k}:X\rightarrow Y\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が一様収束列として、\(f:X\rightarrow Y\)に収束するとする。
このとき、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{k}\left(x\right),f\left(x\right)\right)=0 \] となるので、
\begin{align*} \lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{n}\left(x\right),f_{m}\left(x\right)\right) & =\lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}\left(d\left(f_{n}\left(x\right),f\left(x\right)\right)+d\left(f\left(x\right),f_{m}\left(x\right)\right)\right)\\ & \leq\lim_{n,m\rightarrow\infty}\left(\sup_{x\in X}d\left(f_{n}\left(x\right),f\left(x\right)\right)+\sup_{x\in X}d\left(f\left(x\right),f_{m}\left(x\right)\right)\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{n}\left(x\right),f\left(x\right)\right)+\lim_{m\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f\left(x\right),f_{m}\left(x\right)\right)\\ & =0+0\\ & =0 \end{align*} となり距離の非負性より、\(\lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}d\left(f_{n}\left(x\right),f_{m}\left(x\right)\right)=0\)となる。
従って、関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様コーシー列となる。

逆は一般的に成り立たない

実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に距離を\(d\left(x,y\right)=\left|x-y\right|\)として距離空間を\(\left(\mathbb{R},d\right)\)とする。
関数列を\(\left(f_{k}:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q},x\mapsto\sum_{j=1}^{k}\left(-\frac{1}{j}\right)^{j+1}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{Q}}d\left(f_{n}\left(x\right),f_{m}\left(x\right)\right) & =\lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{Q}}\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|\\ & \leq\lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|\\ & =\lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left(\left|f_{n}\left(x\right)-\log2\right|+\left|\log2-f_{m}\left(x\right)\right|\right)\\ & \leq\lim_{n,m\rightarrow\infty}\left(\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_{n}\left(x\right)-\log2\right|+\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\log2-f_{m}\left(x\right)\right|\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_{n}\left(x\right)-\log2\right|+\lim_{m\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\log2-f_{m}\left(x\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\sum_{j=1}^{n}\left(-\frac{1}{j}\right)^{j+1}-\log2\right|+\lim_{m\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\log2-\sum_{j=1}^{m}\left(-\frac{1}{j}\right)^{j+1}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\sum_{j=1}^{n}\left(-\frac{1}{j}\right)^{j+1}-\log2\right|+\lim_{m\rightarrow\infty}\left|\log2-\sum_{j=1}^{m}\left(-\frac{1}{j}\right)^{j+1}\right|\\ & =\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^{n}\left(-\frac{1}{j}\right)^{j+1}-\log2\right|+\left|\log2-\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^{m}\left(-\frac{1}{j}\right)^{j+1}\right|\\ & =\left|\log2-\log2\right|+\left|\log2-\log2\right|\\ & =0 \end{align*} となり、距離の非負性より、\(\lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in\mathbb{Q}}d\left(f_{n}\left(x\right),f_{m}\left(x\right)\right)=0\)となり、関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様コーシー列となる。
ここで、関数列\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束列となると仮定する。
そうすると、一様収束先となる関数\(f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}\)が存在し、存在するならば各点収束先となる関数になるが、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^{k}\left(-\frac{1}{j}\right)^{j+1}\\ & =\log2\\ & \notin\mathbb{Q} \end{align*} となり\(\left(f_{k}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束列にならないので矛盾。
従って、背理法より、\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は一様収束列とならない。
故に、一様コーシー列は一様収束列になるとは限らない。

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