正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示

by nomura · 2024年3月25日

正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
正接関数・双曲線正接関数は多重対数関数を使って以下のように表示できる。

(1)正接関数

\[ \tan^{\pm1}z=i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \]

(2)双曲線正接関数

\[ \tanh^{\pm1}z=1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right) \]

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\(\Li_{n}\left(z\right)\)は多重対数関数

(1)

\begin{align*} \tan^{\pm1}z & =i^{\mp1}\frac{e^{iz}\mp e^{-iz}}{e^{iz}\pm e^{-iz}}\\ & =i^{\mp1}\frac{e^{2iz}\mp1}{e^{2iz}\pm1}\\ & =-i^{\mp1}\frac{1\mp e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\\ & =e^{-i\pi}e^{\mp\frac{\pi}{2}i}\frac{1\pm e^{2iz}\mp2e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\\ & =e^{\pm\frac{\pi}{2}i}\left(1+2\frac{\mp e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\right)\\ & =i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \tanh^{\pm1}z & =\left(i^{-1}\tan\left(iz\right)\right)^{\pm1}\\ & =i^{\mp1}\tan^{\pm1}\left(iz\right)\\ & =i^{\mp1}i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right)\right)\\ & =1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right) \end{align*}