定義関数の定義と性質

by nomura · 2023年9月3日

定義関数の定義と性質

定義関数の定義
集合\(X\)とその部分集合\(A\subseteq X\)が与えられたとき、\(X\)の元\(x\in X\)が\(A\)に属する場合は1を、属さない場合は0を返す2値関数\(1_{A}\left(x\right)\)を定義関数という。
すなわち
\[ 1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases} 1 & x\in A\\ 0 & x\notin A \end{cases} \] である。

定義関数の性質

(1)補集合

\[ 1_{A^{c}}=1-1_{A} \]

(2)積集合

\[ 1_{A\cap B}=1_{A}1_{B} \]

(3)和集合

\[ 1_{A\cup B}=1_{A}+1_{B}-1_{A}1_{B} \]

(4)差集合

\[ 1_{A\setminus B}=1_{A}\left(1-1_{B}\right) \]

(5)対称差集合

\[ 1_{A\triangle B}=\left|1_{A}-1_{B}\right| \]

定義関数\(1_{A}\)は集合\(A\)を定義するという意味で部分集合\(A\)の定義関数ともいう。
定義関数は指示関数、特性関数ともいいます。

集合\(\left\{ a,b,c\right\} \)とその部分集合\(\left\{ a,b\right\} \)があるとき、\(1_{\left\{ a,b\right\} }\left(a\right)=1,1_{\left\{ a,b\right\} }\left(b\right)=1,1_{\left\{ a,b\right\} }\left(c\right)=0\)となる。

(1)

\begin{align*} 1_{A^{c}} & =\begin{cases} 1 & x\in A^{c}\\ 0 & x\notin A^{c} \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1 & x\notin A\\ 0 & x\in A \end{cases}\\ & =1-\begin{cases} 0 & x\notin A\\ 1 & x\in A \end{cases}\\ & =1-1_{A} \end{align*}

(2)

\begin{align*} 1_{A\cap B}\left(x\right) & =\begin{cases} 1 & x\in A\cap B\\ 0 & x\notin A\cap B \end{cases}\\ & =1_{A}\left(x\right)1_{B}\left(x\right) \end{align*} より、\(1_{A\cap B}=1_{A}1_{B}\)が成り立つ。

(3)

\begin{align*} 1_{A\cup B} & =1_{\left(A^{c}\cap B^{c}\right)^{c}}\\ & =1-1_{A^{c}\cap B^{c}}\\ & =1-\left(1_{A^{c}}1_{B^{c}}\right)\\ & =1-\left(1-1_{A}\right)\left(1-1_{B}\right)\\ & =1-\left(1-1_{A}-1_{B}+1_{A}1_{B}\right)\\ & =1_{A}+1_{B}-1_{A}1_{B} \end{align*}

(4)

\begin{align*} 1_{A\setminus B} & =1_{A\cap B^{c}}\\ & =1_{A}1_{B^{c}}\\ & =1_{A}\left(1-1_{B}\right) \end{align*}

(5)

\begin{align*} 1_{A\triangle B}\left(x\right) & =\begin{cases} 1 & x\in A\land x\notin B\\ 1 & x\notin A\land x\in B\\ 0 & x\in A\land x\in B\\ 0 & x\notin A\land x\notin B \end{cases}\\ & =\left|1_{A}\left(x\right)-1_{B}\left(x\right)\right| \end{align*} より、\(1_{A\triangle B}=\left|1_{A}-1_{B}\right|\)が成り立つ。