空集合は任意の集合の部分集合

by nomura · 2023年8月7日

空集合は任意の集合の部分集合
任意の集合$A$に対し$\emptyset\subseteq A$が成り立つ。

$\emptyset\subseteq\emptyset$や$A\subseteq A$も常に成り立つ。

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$A=\left\{ a\right\} $のとき、$a\in A$であるが$\left\{ a\right\} \in A$ではない。また$\left\{ a\right\} \subseteq A$であるが、$a\subseteq A$ではない。
また任意の集合$A$に対し、$\emptyset\subseteq A$であるが、$\emptyset\in A$ではない。

任意の$x\in\emptyset$は常に偽なので、$\emptyset\subseteq A\Leftrightarrow\forall x\left(x\in\emptyset\rightarrow x\in A\right)$は真になる。
故に題意は成り立つ。