空集合は任意の集合の部分集合
空集合は任意の集合の部分集合
任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset\subseteq A\)が成り立つ。
任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset\subseteq A\)が成り立つ。
\(\emptyset\subseteq\emptyset\)や\(A\subseteq A\)も常に成り立つ。
また任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)であるが、\(\emptyset\in A\)ではない。
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\(A=\left\{ a\right\} \)のとき、\(a\in A\)であるが\(\left\{ a\right\} \in A\)ではない。また\(\left\{ a\right\} \subseteq A\)であるが、\(a\subseteq A\)ではない。また任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)であるが、\(\emptyset\in A\)ではない。
任意の\(x\in\emptyset\)は常に偽なので、\(\emptyset\subseteq A\Leftrightarrow\forall x\left(x\in\emptyset\rightarrow x\in A\right)\)は真になる。
故に題意は成り立つ。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 空集合は任意の集合の部分集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xiaki13l/ |
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基底変換行列と表現行列の関係
\[
B=Q^{-1}AP
\]
線形写像の合成と表現行列の積
\[
A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}
\]
表現行列の定義とベクトルの成分
\[
\left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A
\]
線形写像・零写像・線形変換・ 恒等変換の定義と性質
\[
\begin{cases}
f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\\
f\left(c\boldsymbol{x}\right)=cf\left(\boldsymbol{x}\right)
\end{cases}
\]