空集合の定義と性質
空集合の定義と性質
空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい\(\emptyset\)で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。
空集合の性質
空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい\(\emptyset\)で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。
空集合の性質
(1)
空集合は唯1つ存在する。任意の元\(x\)に対し、\(x\notin\emptyset\)となる。
任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)となる。
任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)となる。
(1)
空集合が\(\emptyset_{1},\emptyset_{2}\)の2つあり\(\emptyset_{1}\ne\emptyset_{2}\)と仮定する。このとき、任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset_{1}\subseteq A\)が成り立つので\(A\)に\(\emptyset_{2}\)を代入すると、\(\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}\)となる。
同様に\(\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}\)が成り立つ。
これより、\(\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}\)かつ\(\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}\)なので\(\emptyset_{1}=\emptyset_{2}\)となるので矛盾。
従って、背理法より\(\emptyset_{1}=\emptyset_{2}\)となり、空集合は唯1つ存在する。
ページ情報
| タイトル | 空集合の定義と性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/z4pn0ulj/ |
| SNSボタン |
実数では補有限位相は通常位相より弱い
\[
\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}
\]
3角形の垂心と円に内接する4角形
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[
\zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値を引数に持つ関数の和と差
\[
f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left(f\left(0\right)+f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left(f\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\mp_{2}1\right)
\]