位相空間での位相と開集合閉集合の定義

(1)位相

集合\(X\)の部分集合族\(\mathcal{O}\)が次の(a)(b)(c)の3条件を満たすとき\(\mathcal{O}\)を\(X\)上での位相といい、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)を位相空間という。

(a)空集合、全体集合

\[ \emptyset,X\in\mathcal{O} \]

(b)開集合の有限積集合

\[ \exists n\in\mathbb{N}_{0},\forall m\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} ,O_{m}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} }O_{k}\in\mathcal{O} \]

(b-2)

\[ O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} \]

(b-3)

\[ \forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\left|\mathcal{A}\right|<\infty\rightarrow\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O} \]

(b-4)

\[ O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}\rightarrow O_{1}\cap O_{2}\in\mathcal{O} \]

(c)開集合の和集合

\[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} \]

(c-2)

\[ \forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O} \]

(2)開集合

位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)において\(\mathcal{O}\)の要素となる集合を\(X\)の開集合という。

(3)閉集合

補集合が開集合のとき閉集合という。
または開集合の補集合は閉集合である。