距離空間での収束の定義と開集合による別定義

by nomura · 2023年7月10日

距離空間での収束の定義と開集合による別定義
距離空間$\left(X,d\right)$と点列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$があるとする。
このとき、
\[ \exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon \] となるとき、$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は$a$に収束するといい$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a$と表す。

別定義

また、これを開集合を使って言い換える。
$a\in X$を元とする開集合全体の集合を$\mathcal{O}_{a}$とすると、
\[ \exists a\in X,\forall O_{a}\in\mathcal{O}_{a},\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow a_{n}\in O_{a} \] となるとき、$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は$a$に収束するといい$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a$と表す。

別定義は位相空間での点列の収束の定義となる。

開集合による別定義の証明

$\Rightarrow$

収束の定義より、$d\left(a_{n},a\right)<\epsilon$となるとき、$a_{n}\in B\left(a,\epsilon\right)$となる。
また、$O_{a}\in\mathcal{O}_{a}$は$a$を元に持つ開集合なので、任意の$O_{a}$に対し、ある$\epsilon>0$が存在し$B\left(a,\epsilon\right)\subseteq O_{a}$となる。
これより、$a_{n}\in B\left(a,\epsilon\right)\subseteq O_{a}$となるので、$N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon$が成り立つとき、$N<n\rightarrow a_{n}\in O_{a}$が成り立つ。
故に$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

任意の$\epsilon>0$に対し、$O_{a}$は元$a$を含む任意の開集合なので$B\left(a,\epsilon\right)=O_{a}$ととると、$a_{n}\in O_{a}=B\left(a,\epsilon\right)$となるので、$d\left(a_{n},a\right)<\epsilon$となる。
これより、$N<n\rightarrow a_{n}\in O_{a}$が成り立つとき、$N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon$が成り立つ。
故に$\Leftarrow$が成り立つ。