距離空間ならば第1可算公理を満たす

by nomura · 2023年7月9日

距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算公理を満たす。
逆は一般的に成り立たない。

$\Rightarrow$

任意の$x\in X$に対し、$x$での基本近傍系$\mathcal{B}_{x}$を$\mathcal{B}_{x}=\left\{ B\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} $とおけば$\mathcal{B}_{x}$は高々可算濃度なので第1可算公理を満たす。
故に$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$は一般的に成り立たない

反例で示す。
上限位相$\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)$は基本近傍系$\mathcal{B}_{x}$を$\mathcal{B}_{x}=\left\{ \left(x-\frac{1}{n},x\right];n\in\mathbb{N}\right\} $とすれば$\mathcal{B}_{x}$は高々可算濃度なので第1可算公理を満たすが、距離化不可能である。
故に$\Leftarrow$は一般的に成り立たない。