距離空間での各点連続と一様連続の定義

by nomura · 2023年6月1日

距離空間での各点連続と一様連続の定義
距離空間$\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)$と写像$f:X\rightarrow Y$があるとする。

(1)各点連続

ある点で連続

関数$f\left(x\right)$が
\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right) \] となるとき、すなわち、$x_{0}\in X$として
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] となるとき、点$x_{0}$で連続であるという。

各点連続

\[ \forall x_{0},x_{1}\in X,\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right) \] となるとき、又は別の表現では、
\[ \forall x_{0}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1}\in X;d_{X}\left(x_{0},x_{1}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{0}\right),f\left(x_{1}\right)\right)<\epsilon \] 又は、開近傍を使った同値な表現、
\[ \forall x_{0}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1}\in X;U_{\delta}\left(x_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{1}\right)\right)\right) \] となるとき、$X$上で$f$は各点連続や連続であるという。
このとき、$f$は連続関数であるともいいます。

(2)一様連続

\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1},x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] となるとき、又は別の表現では、
\[ \forall x_{1},x_{2}\in X,\lim_{\delta\rightarrow0+}\sup_{d\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta}d_{Y}\left(f\left(x_{2}\right),f\left(x_{1}\right)\right)=0 \] となるとき、$X$上で$f$は一様連続であるという。

(1)

各点連続であるとき、$\delta=\delta\left(\epsilon,x_{1}\right)$であるが、一様連続であるときは$\delta=\delta\left(\epsilon\right)$となるので条件はきつくなる。

(2)

(1)の距離を使った定義と開近傍を使った定義とは同値である。
なぜなら
\begin{align*} & \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;x_{1}\in U_{\delta}\left(x_{2}\right)\rightarrow f\left(x_{1}\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(x_{2}\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;x_{1}\in U_{\delta}\left(x_{2}\right)\rightarrow x_{1}\in f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{2}\right)\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;U_{\delta}\left(x_{2}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{2}\right)\right)\right) \end{align*} となるからである。

(3)

ある点で連続であるとき、論理式での表現と同値であることを証明する。
まず$\Rightarrow$を示す。
点$x_{0}\in X$で連続であるとき、
\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right) \] であり、このとき、次の3条件を満たす。

$f\left(x_{0}\right)$が定義されている。
$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)$が存在する。
$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)$を満たす。
また、極限の定義から
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;0<d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] であり、$x=x_{0}$のときは$f\left(x_{0}\right)$が定義されているので、$d_{X}\left(x,x_{0}\right)=0\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)=0$となり、
\begin{align*} d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta & \Rightarrow\left(0<d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\right)\lor\left(d_{X}\left(x,x_{0}\right)=0\right)\\ & \Rightarrow\left(d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon\right)\lor\left(d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)=0\right)\\ & \Leftrightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \end{align*} となるので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] となるので$\Rightarrow$が成り立つ。
次に$\Leftarrow$を示す。
論理式
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] が成り立っているとする。
このとき、$x=x_{0}$とすると、論理式は
\begin{align*} \top & \Leftrightarrow d_{X}\left(x_{0},x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{0}\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon\\ & \Leftrightarrow0<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{0}\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon\\ & \Leftrightarrow\top\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{0}\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon\\ & \Leftrightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{0}\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \end{align*} となりこれが成り立つので、$f\left(x_{0}\right)$が存在する。
また、
\begin{align*} 0<d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta & \Rightarrow d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\\ & \Rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \end{align*} となるので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;0<d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] となり、$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)$が成り立つ。
従って、$\Leftarrow$が成り立つ。
これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

(1)

実数上で通常距離をとるとして$f\left(x\right)=x^{2}$を考える。

各点連続の証明

このとき、
\begin{align*} \left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right| & =\left|x^{2}-a^{2}\right|\\ & =\left|x-a\right|\left|x+a\right|\\ & \leq\left|x-a\right|\left(\left|x\right|+\left|a\right|\right)\\ & =\left|x-a\right|\left(\left|x-a+a\right|+\left|a\right|\right)\\ & \leq\left|x-a\right|\left(\left|x-a\right|+2\left|a\right|\right)\\ & <\delta\left(\delta+2\left|a\right|\right) \end{align*} となるので、$\epsilon=\delta\left(\delta+\left|2a\right|\right)$とおけば、$\delta=-\left|a\right|\pm\sqrt{\left|a\right|^{2}+\epsilon}$となるが、$0<\delta$なので、$\delta=\sqrt{\left|a\right|^{2}+\epsilon}-\left|a\right|$ととればいい。
これより、$f\left(x\right)=x^{2}$は各点連続となる。

一様連続ではない証明

任意の$\delta>0$に対し、$x_{1}=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta},x_{2}=\frac{1}{\delta}$とすると、
\begin{align*} \left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{\delta}{2}<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| & =\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|\\ & =\left|x_{1}-x_{2}\right|\left|x_{1}+x_{2}\right|\\ & =\frac{\delta}{2}\left(\frac{\delta}{2}+\frac{2}{\delta}\right)\\ & =\frac{\delta^{2}}{4}+1\\ & >1 \end{align*} となるので、$\epsilon=1$ととれば、一様連続の条件を満たさない。
つまり、$\epsilon=1$とととると、任意の$\delta>0$に対し、$\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|>1=\epsilon$となる$x_{1},x_{2}$が存在するので$f\left(x\right)=x^{2}$は一様連続ではない。

(2)

$\left(0,\infty\right)$上で通常距離をとるとして$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$を考える。

各点連続の証明

$\left|x-a\right|<\delta$のとき、$-\delta<x-a<\delta$より、$a-\delta<x<a+\delta$となるので、$\delta<a$を満たすようにとれば、$0<a-\delta<x$なので、$\frac{1}{x}\leq\frac{1}{a-\delta}$
\begin{align*} \left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right| & =\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right|\\ & =\left|\frac{a-x}{xa}\right|\\ & =\frac{\left|a-x\right|}{\left|a\right|\left|x\right|}\\ & <\frac{\delta}{a\left(a-\delta\right)} \end{align*} となるので、$\epsilon=\frac{\delta}{a\left(a-\delta\right)}$ととれば、$\delta=\frac{a^{2}\epsilon}{1+a\epsilon}$となり、$\delta=\frac{a^{2}\epsilon}{1+a\epsilon}=\frac{a\left(1+a\epsilon\right)-a}{1+a\epsilon}=a-\frac{a}{1+a\epsilon}<a$となるので条件$\delta<a$も満たす。
これより、任意の$\epsilon>0$に対し、$\delta=\frac{a^{2}\epsilon}{1+a\epsilon}$ととれば、$\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\epsilon$となるので$f\left(x\right)=x^{2}$は各点連続となる。

一様連続ではない証明

$x_{1}=\frac{1}{n},x_{2}=\frac{1}{n+1}$とおくと、十分大きな$n$をとれば$\left|x_{1}-x_{2}\right|$はいくらでも小さくできるので、任意の$\delta>0$に対し、
\begin{align*} \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| & =\left|\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right|\\ & =\left|n-\left(n+1\right)\right|\\ & =1 \end{align*} となるので、$\epsilon=1$ととれば一様連続の条件を満たさない。
つまり、$\epsilon=1$ととると、任意の$\delta>0$に対し、ある$x_{1},x_{2}$が存在して、$\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=1=\epsilon$となるので$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$は一様連続ではない。

-

別の方法
$n\in\mathbb{N}$として$x_{1}=\frac{1}{n},x_{2}=\frac{2}{n}$とおくと、$\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{1}{n}$となるので、任意の$\delta>0$に対し、$\frac{1}{\delta}<N$を満たす$N$をとれば、
\begin{align*} \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| & =\left|n-\frac{n}{2}\right|\\ & =\left|\frac{n}{2}\right|\\ & \geq\frac{1}{2} \end{align*} となるので、$\epsilon=\frac{1}{2}$ととれば一様連続の条件を満たさなくなる。
つまり、$\epsilon=\frac{1}{2}$ととると、任意の$\delta>0$に対し、ある$x_{1},x_{2}$が存在して、$\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|\geq\frac{1}{2}=\epsilon$となるので$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$は一様連続ではない。

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