離散位相は距離化可能
離散位相は距離化可能
離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は離散距離空間\(\left(X,d\right)\)で距離化可能である。
離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は離散距離空間\(\left(X,d\right)\)で距離化可能である。
任意の\(x\in X\)に対し\(U_{1/2}\left(x\right)=\left\{ x\right\} \)となるので\(\left\{ x\right\} \)は開集合となる。
任意の部分集合\(A\subseteq X\)をとると、\(A=\bigcup_{x\in A}\left\{ x\right\} \)となるので\(A\)は開集合となる。
これより、離散距離空間\(\left(X,d\right)\)の開集合\(\mathcal{O}_{d}\)は\(\mathcal{O}_{d}=2^{x}\)となるので題意は成り立つ。
任意の部分集合\(A\subseteq X\)をとると、\(A=\bigcup_{x\in A}\left\{ x\right\} \)となるので\(A\)は開集合となる。
これより、離散距離空間\(\left(X,d\right)\)の開集合\(\mathcal{O}_{d}\)は\(\mathcal{O}_{d}=2^{x}\)となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 離散位相は距離化可能 |
| URL | https://www.nomuramath.com/s4i1c176/ |
| SNSボタン |
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x
\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)
\]
2つの距離関数と点列・開集合・閉集合の関係