距離空間ならばハウスドルフ空間

by nomura · 2023年5月20日

距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。

対偶をとると、ハウスドルフ空間でないならば距離空間とはならない。

$\Rightarrow$

距離空間$\left(X,d\right)$の任意の異なる2点$x,y$に対し、$0<d\left(x,y\right)$なので$\epsilon=d\left(x,y\right)$とおくと、開近傍$U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right),U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)$は$U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right)\cap U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)=\emptyset$を満たすのでハウスドルフ空間になる。