ゼータ関数の交代級数
ゼータ関数の交代級数
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2} \]
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2} \]
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{j}{j^{2k+1}}-\frac{1}{j^{2k+1}}\right)\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=2}^{\infty}\left(\frac{j-1}{j^{2k+1}}\right)\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{j^{2}}\right)^{k-1}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}}\frac{1}{1-\frac{1}{j^{2}}}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}-j}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j(j+1)(j-1)}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j(j+1)}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\left(\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1}\right)\\
& =\frac{1}{2}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ゼータ関数の交代級数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rjcjvzw7/ |
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リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の導関数の特殊値
\[
\zeta'\left(0\right)=-\Log\sqrt{2\pi}
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz
\]
リーマン・ゼータ関数の等式(解析接続)
\[
\zeta\left(s\right)=1+\sum_{j=0}^{\infty}C\left(-s,j\right)\zeta\left(s+j\right)
\]
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[
\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}
\]