ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)} & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax\Gamma(ax)}{x\Gamma(x)}\\
& =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(1+ax)}{\Gamma(1+x)}\\
& =\frac{1}{a}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の極限問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ioidql08/ |
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ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示・テイラー展開と調和数・一般化調和数
\[
\psi\left(z\right)=-\gamma+H_{z-1}
\]
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[
\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}
\]
負の整数の階乗の商
\[
\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]