ガンマ関数の半整数値
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \](2)
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \](1)
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)Q\left(\frac{1}{2},n\right)\\ & =\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) & =\Gamma\left(1-\left(\frac{1}{2}+n\right)\right)\\ & =\Gamma^{-1}\left(\frac{1}{2}+n\right)\frac{\pi}{\sin\left(\pi\left(\frac{1}{2}+n\right)\right)}\\ & =(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{-n-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=-n}^{-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)^{-1}\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}-k\right)^{-1}\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)P^{-1}\left(-\frac{1}{2},n\right)\\ & =\frac{(-1)^{n}2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の半整数値 |
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ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)
\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[
\Gamma(n+1)=n!
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
\[
\frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x}
\]
ガンマ関数の相反公式
\[
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)
\]