積分問題
\(1\leq s\)とする。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s) \] \(\eta(s)\)はイータ関数である。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s) \] \(\eta(s)\)はイータ関数である。
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx & =4\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}dx\\
& =4\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}e^{-2x}}{(1+e^{-2x})^{2}}dx\\
& =4\int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-2x}\sum_{u=0}^{\infty}\left(-e^{-2x}\right)^{u}\sum_{v=0}^{\infty}\left(-e^{-2x}\right)^{v}dx\\
& =4\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}(-1)^{u+v}\int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-2(u+v+1)x}dx\\
& =4\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}(-1)^{u+v}\frac{1}{2^{s+1}(u+v+1)^{s+1}}\int_{0}^{\infty}y^{s}e^{-y}dy\qquad,\qquad y=2(u+v+1)x\\
& =4\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}(-1)^{u+v}\frac{1}{2^{s+1}(u+v+1)^{s+1}}\Gamma(s+1)\\
& =\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}\frac{(-1)^{u+v}}{(u+v+1)^{s+1}}\\
& =\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^{j}}{(j+1)^{s+1}}\\
& =\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^{j}}{(j+1)^{s}}\\
& =\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 積分問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/gudj3oi6/ |
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(*)log(1-x)のn乗の展開
\[
\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}
\]
ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数
\[
B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)
\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
連続関数同士の合成関数は連続
\[
\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x_{0}\right)\right)
\]