一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数

by nomura · 2020年5月23日

一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数は次のようになる。

(1)一般化調和数の通常型母関数

\(m\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z} \] \[ H_{n,m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}} \] である。
\(m=1\)のときは、\(\Li_{1}(z)=-\log(1-z)\)なので、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=\frac{-\log(1-z)}{1-z} \] となる。

(2)調和数の指数型母関数

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k}}{k!} & =e^{x}\mathrm{Ein}\left(x\right)\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{kk!} \end{align*}

-

\(H_{n}\)は調和数
\(H_{n,m}\)は一般化調和数
\(\mathrm{Ein}\left(x\right)\)は整指数積分

(1)

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{k}\frac{z^{k}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{t+j}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}z^{t}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{j}}{j^{m}}\\ & =\frac{1}{1-z}\Li_{m}\left(z\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k}}{k!} & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{x}H_{k}\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}dx\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}\left(H_{k+1}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}H_{k+1}\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{\left(k+1\right)!}\\ & =\frac{d}{dx}\LHS-\frac{1}{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =e^{x}\left(1+\frac{d}{dx}\right)e^{-x}\LHS-\frac{e^{x}-1}{x}\\ & =e^{x}\int_{y}^{x}e^{-x}\frac{e^{x}-1}{x}dx+\LHS\left(x\rightarrow y\right)\\ & =e^{x}\int_{0}^{x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx\cmt{y=0}\\ & =e^{x}\mathrm{Ein}\left(x\right)\tag{*}\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{x}\frac{\left(-x\right)^{k-1}}{k!}dx\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{kk!} \end{align*}