連続関数の和・積・商
連続関数の和・積・商
関数\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)が\(x=x_{0}\)で連続であるとき次が成り立つ。
関数\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)が\(x=x_{0}\)で連続であるとき次が成り立つ。
(1)和
\(f\left(x\right)+g\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(2)積
\(f\left(x\right)g\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(3)商
\(g\left(x_{0}\right)\ne0\)ならば、\(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(1)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & =\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)+\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left(x\right)\\ & =f\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right) \end{align*} となるので、\(f\left(x\right)+g\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(2)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) & =\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)\right)\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left(x\right)\right)\\ & =f\left(x_{0}\right)g\left(x_{0}\right) \end{align*} となるので、\(f\left(x\right)g\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(3)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right) & =\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left(x\right)}\\ & =\frac{f\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)} \end{align*} となるので、\(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。
ページ情報
| タイトル | 連続関数の和・積・商 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yy7g8h39/ |
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階乗と冪乗の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{n}}{n!}=0
\]
ウォリス積分の値
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2}
\]
ウォリスの公式
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}
\]
数列・関数の和・積・商・スカラー倍の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=ab
\]