(1)

\(f\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続なので、任意の\(\epsilon_{f}>0\)に対し、ある\(\delta_{f}>0\)が存在し、\(\left|x-x_{0}\right|<\delta_{f}\rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\epsilon_{f}\)を満たす。
同様に\(g\left(x\right)\)は\(y=f\left(x_{0}\right)\)で連続なので\(y_{0}=f\left(x_{0}\right)\)とおくと、任意の\(\epsilon_{g}>0\)に対し、ある\(\delta_{g}>0\)が存在し、\(\left|y-y_{0}\right|<\delta_{g}\rightarrow\left|g\left(y\right)-g\left(y_{0}\right)\right|<\epsilon_{g}\)を満たす。
このとき、\(\epsilon_{f}\)は任意なので\(\epsilon_{f}\leq\delta_{g}\)を満たすようにとると、
\begin{align*} \left|x-x_{0}\right|<\delta_{f} & \Rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\epsilon_{f}\\ & \Rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\delta_{g}\cmt{\because\epsilon_{f}\leq\delta_{g}}\\ & \Leftrightarrow\left|y-y_{0}\right|<\delta_{g}\\ & \Rightarrow\left|g\left(y\right)-g\left(y_{0}\right)\right|<\epsilon_{g}\\ & \Leftrightarrow\left|g\left(f\left(x\right)\right)-g\left(f\left(x_{0}\right)\right)\right|<\epsilon_{g}\\ & \Leftrightarrow\left|\left(g\circ f\right)\left(x\right)-\left(g\circ f\right)\left(x_{0}\right)\right|<\epsilon_{g} \end{align*} となるので、任意の\(\epsilon_{g}>0\)に対し、ある\(\delta_{f}>0\)が存在し、\(\left|x-x_{0}\right|<\delta_{f}\Rightarrow\left|\left(g\circ f\right)\left(x\right)-\left(g\circ f\right)\left(x_{0}\right)\right|<\epsilon_{g}\)が成り立つので\(\left(g\circ f\right)\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となるので\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\left(g\circ f\right)\left(x_{0}\right)\)となる。
これより、
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left(f\left(x\right)\right) & =\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(g\circ f\right)\left(x\right)\\ & =\left(g\circ f\right)\left(x_{0}\right)\\ & =g\left(f\left(x_{0}\right)\right) \end{align*} となる。

(2)

(1)より、明らかに成り立つ。